Functor Hom

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A kategóriaelméletben a Hom halmazok (vagyis két objektum közötti morfizmusok halmazai) lehetővé teszik a fontos funktorok meghatározását a halmazok kategóriájában . Ezeket a funktorokat Hom-funktoroknak nevezik, és számos alkalmazásuk van a kategóriaelméletben és a matematika más területein.

Definíció

Legyen C egy lokálisan kis kategóriája . Ekkor bármelyik A , B objektumra a következő két függvényt határozzuk meg:

Hom( A ,-) : C → Set	Hom(-, B ): C → Set
Ez a következőképpen definiált kovariáns függvény: A Hom( A ,-) minden C kategóriájú X objektumot leképez a Hom( A , X ) morfizmusok halmazára. A Hom( A ,-) minden f : X → Y morfizmust függvénybe képez le Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) megadva $g\mapsto f\circ g$ minden g -re Hom( A , X ).	Ez a következőképpen definiált kontravariáns függvény: A Hom(-, B ) minden C kategóriájú X objektumot leképez a Hom( X , B ) morfizmusok halmazára. A Hom(-, B ) minden h : X → Y morfizmust függvénybe képez le Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) adja meg $g\mapsto g\circ h$ minden g -re Hom( Y , B ).

A Hom(-, B ) függvényt a B objektum pontfunkktorának is nevezik .

Lehetőség van egy Hom(-,-) bifunktor definiálására is C × C és Set között, amely az első argumentumban kontravariáns, a másodikban pedig kovariáns. Vagy ezzel egyenértékűen egy funktor

Hom(-,-) : C op × C → Beállítás

ahol C op a C kettős kategóriája .

Belső funktor Hom

Egyes kategóriákban lehetőség van a Hom funktorhoz hasonló funktor definiálására, amelynek értékei magában a kategóriában vannak. Az ilyen funktort Hom belső funktornak nevezzük, és jelöljük

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\times C\to C

A belső Hom függvényt lehetővé tevő kategóriákat zárt kategóriáknak nevezzük . Mivel zárt kategóriában (itt én a zárt kategória egysége), ez átírható így $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

Zárt monoidális kategória esetén ez kiterjeszthető az úgynevezett curryingre , azaz izomorfizmusra

{\text{Hom}}(X,Y\Jobbra Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

hol van . $Y\Jobbra Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Kapcsolódó definíciók

A Hom(-, C) formájú funktor : C op → Set egy preheaf ; ennek megfelelően a Hom(C, -) copresheaf-nek nevezhető.
Egy F : C → Ha valamilyen C objektumhoz állítjuk be természetesen izomorf Hom(X, -) függvényt reprezentálható függvénynek nevezzük .
Hom(-, -) : C op × C → A halmaz egy profunktor , nevezetesen az azonosságpronktor . ${\text{id}}_{C}\colon C\njobbra nyíl C$
A Hom belső funktor megőrzi a határokat ; nevezetesen korlátokat vesz a korlátok közé, és korlátokat a kolimitoknak. Bizonyos értelemben ez felfogható egy határ vagy koliit definíciójának. ${\text{hom}}(X,-):C\-C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\-C$
A Hom funktor egy példa a bal oldali egzakt funktorra.

Lásd még

Jegyzetek

S. McLane. Kategóriák egy dolgozó matematikusnak, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. A logika kategorikus elemzése, - M . : Mir, 1983. - 487 p.
Nathan Jacobson . Alapalgebra (határozatlan) . — 2. - Dover, 2009. - 2. kötet - ISBN 978-0-486-47187-7 .