Lapos modul

Az R feletti lapos modul olyan modul , amelyben a tenzorszorzás ezzel a modullal megőrzi a pontos sorozatokat . Egy modult szigorúan laposnak mondunk, ha a tenzorszorzatok sorrendje akkor és csak akkor pontos, ha az eredeti sorozat pontos.

A vektorterek , a szabad és általában véve a projektív modulok laposak. A Noether- gyűrűkön keresztül végesen generált modulok esetében a lapos modulok ugyanazok, mint a projektív modulok. A helyi gyűrűkön keresztül végesen generált modulok esetén minden lapos modul ingyenes . [egy]

A lapos modulus fogalmát Serre vezette be 1955-ben.

Definíció

A lapos moduloknak több egyenértékű definíciója is megadható.

Egy (bal) -modult akkor és csak akkor mondunk laposnak , ha a függvény pontos . $R$ $M$ $N\mapsto M\otimes _{R}N$
Mivel a tenzorszorzat függvény mindig pontos, pontos , az előző követelmény enyhíthető. Ugyanis egy -modul akkor lapos, ha a -modulok bármely injektív homomorfizmusa esetén az indukált leképezés is injektív. $R$ $M$ $R$ $\phi :K\to L$ $F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L$
Egy modul akkor lapos, ha a gyűrűben minden véges generált ideálra (természetes beágyazással ) az indukált leképezés injektív. $M$ $R$ $I\hookrightarrow R$ $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$

Lapos modulok tulajdonságai kommutatív gyűrűn

Az R gyűrű bármely S multiplikatív rendszerére az S −1 R hányadosok gyűrűje egy lapos R -modul.

Egy végesen generált modul akkor és csak akkor lapos, ha helyileg ingyenes. Az R gyűrű feletti lokálisan szabad modul M modul úgy, hogy a lokalizációja bármely prímideálhoz képest szabad modul a hányadosok gyűrűje felett . $M_{\mathfrak {p))$ $R_{\mathfrak {p))$

Ha az S gyűrű egy R - algebra , vagyis létezik homomorfizmus , akkor érdemes megkérdezni , hogy ez az algebra egy lapos R - modul - e . Kiderül, hogy S akkor és csak akkor szigorúan lapos modul, ha az R gyűrű minden prímideálja az S - ből származó valamelyik prímideál f hatása alatti előképe , vagyis amikor a térkép szürjektív (lásd a Spektrum egy gyűrű ). $f:R\to S$ $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$

A lapos modulok a következő zárványláncon adhatók meg:

Torziómentes modulok ⊃ lapos modulok ⊃ projektív modulok ⊃ szabad modulok .

A gyűrűk bizonyos osztályaira az inverz zárványok is érvényesek: például a Dedekind-gyűrű felett minden csavarodásmentes modul lapos, az Artin-gyűrű feletti lapos modul projektív, a projektív modul pedig egy fő ideális tartományon (vagy egy helyi gyűrű ) ingyenes.

Kategorikus kolimitok

A lapos modulok közvetlen összegei és határértékei laposak. Ez abból következik, hogy a tenzorszorzat direkt összegekkel és direkt határértékekkel ingázik (sőt, ingázik az összes kolimittel ). Egy lapos modul részmoduljai és hányadosmoduljai nem feltétlenül laposak (például a Z /2 Z modul nem lapos ). Ha azonban egy lapos modul részmodulja közvetlen összegző benne , akkor a rá vonatkozó tényező lapos.

Egy modul akkor és csak akkor lapos, ha ez a végesen előállított szabad modulok közvetlen korlátja . [2] Ez különösen azt jelenti, hogy minden végesen bemutatott lapos modul projektív.

Homológiai algebra

Egy modul "laposság" tulajdonságát a Tor függvény segítségével fejezhetjük ki , amely a tenzorszorzat baloldali származtatott függvénye . Egy bal oldali R - M modul akkor és csak akkor lapos, ha Tor n R (-, M ) = 0 az összesre ( vagyis amikor Tor n R ( X , M ) = 0 az összes és minden jobb X modulra ), a lapos jobb oldali modul definíciója hasonló. Ezt a tényt felhasználva bizonyítható egy rövid, pontos modulsorozat több tulajdonsága : $n\geq 1$ $n\geq 1$

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Ha A és C lapos, akkor B lapos.
Ha B és C lapos, akkor A lapos.

Ha A és B lapos, akkor C általában nem lapos. azonban

Ha A a B modul közvetlen összegzője és B lapos, akkor A és C lapos.

Lapos oldószerek

Az M modul lapos felbontása a forma felbontása

… → F 2 → F 1 → F 0 → M → 0

ahol minden F i lapos. A Tor - függvény kiszámításához lapos felbontásokat használnak .

A lapos rezolvens hossza a legkisebb n index , így F n nem nulla F i =0 minden n - nél nagyobb i esetén . Ha az M modul véges lapos felbontást tesz lehetővé, hosszát a modul lapos méretének nevezzük . [3] , egyébként a lapos dimenziót végtelennek mondjuk. Például, ha az M modul 0 lapos dimenziójú, akkor a 0 → F 0 → M → 0 sorozat pontossága azt jelenti, hogy M izomorf F 0 -val , azaz lapos.

Jegyzetek

↑ Matsumura, 1970 , Proposition 3.G
↑ Lazard, D. (1969), Autour de la platitude , Bulletin de la Société Mathématique de France T. 97: 81–128 , < http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0 > Archiválva : március 3. 2014 a Wayback Machine -nél
↑ Lam, 1999 , p. 183.

Irodalom

Bourbaki N. Kommutatív algebra. - M: Mir, 1971.
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 ; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), Injective and flat covers, envelopes and solvents , Israel J. Math. V. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Előadások a modulokról és a gyűrűkről , Matematikai végzettségi szövegek No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press
Matsumura és Hideyuki (1970), Kommutatív algebra
Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytique , Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 6. kötet: 1–42, ISSN 0373-0956 , doi : 10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0