Véglegesen generált ideál

Az asszociatív gyűrű végesen generált ideálja olyan ideál , amelyet véges számú eleme generál. $én$ $R$

Abban az esetben, ha egy gyűrű egységnyi, a véges generálás egy egyoldalú (például jobboldali) gyűrűideálhoz azt jelenti, hogy létezik olyan véges elemhalmaz , amelyből bármely elem összegként ábrázolható , ahol a gyűrű néhány eleme. Ez a definíció teljes mértékben megfelel a gyűrű felett végesen generált modul definíciójának , ha a megfelelő ideált úgy tekintjük, mint egy gyűrű feletti jobb modult . Ennek megfelelően egy kétoldali ideál végesen generálódik, ha van olyan véges elemhalmaz , amelyből bármely elem ábrázolható összegként , ahol a gyűrű néhány eleme . $R$ $én$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $én$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $én$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $én$ ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ $R$

Általános esetben, amikor a gyűrű nem feltétlenül tartalmaz egységet, akkor véges helyes ideál jön létre, ha van olyan véges elemhalmaz , amelyből bármely elem ábrázolható összegként , ahol a gyűrű néhány eleme, . Egy kétoldalú ideált akkor nevezzük végesnek generáltnak, ha van olyan véges elemhalmaz , amelyből bármely elem ábrázolható összegként , ahol a gyűrű néhány eleme van . $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $én$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $én$ $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{ n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n},d_{1},\ldots , d_{n}\in R$ $R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$

Lásd még

Ideál