Induktív határérték

Az induktív határ (vagy közvetlen határ , colimit ) egy olyan konstrukció, amely kezdetben a halmazelméletben és a topológiában jelent meg , majd a matematika számos ágában széles körben alkalmazták. A kettős fogalom a projektív (vagy inverz) határérték.

Ez a konstrukció lehetővé teszi egy új objektum létrehozását azonos típusú objektumok sorozata ( irányított halmaz által indexelt ) és leképezések halmaza alapján . Az induktív határértékre általában a jelölést használják $x$ $X_{i}$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $i\leqslant j$

X=\varinjlim X_{i}

Definíciót adunk az algebrai struktúrákra , majd egy tetszőleges kategóriájú objektumokra .

Definíció

Algebrai objektumok

Ez a rész olyan definíciót ad, amely megfelel a hozzáadott szerkezetű készleteknek , mint például csoportok , gyűrűk , rögzített gyűrűn keresztüli modulok stb.

Legyen egy irányított halmaz előrendelési relációval , és legyen minden elem társítva egy algebrai objektumhoz , és minden , pár , amelyben homomorfizmus legyen , és legyen azonos leképezések bármelyikére és bármelyikére . Az objektumok és homomorfizmusok ilyen rendszerét irányított rendszernek is nevezik . $én$ $\leqslant$ $i\in I$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\in I$ $i\leqslant j$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $f_{{ii}}$ $i\in I$ ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j\leqslant k$ $én$

Ekkor az irányított rendszer közvetlen határának vivőhalmaza a vivőhalmazok diszjunktív uniójának faktorhalmaza az ekvivalencia relációhoz képest: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X_{i}$

\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .

Itt és egyenértékűek, ha létezik olyan, hogy . Intuitív módon a diszjunktív unió két eleme akkor és csak akkor ekvivalens, ha egy irányított rendszerben "előbb-utóbb egyenértékűvé válnak". Egyszerűbb megfogalmazás az "minden elem ekvivalens a képeivel" ekvivalenciareláció tranzitív lezárása , azaz . $x_{i}\in X_{i}$ $x_{j}\in X_{j}$ $k\in I$ $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$ $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$

Ebből a definícióból könnyen kaphatunk olyan kanonikus morfizmusokat , amelyek minden elemet az ekvivalencia osztályába küldenek. A hozzáadott algebrai struktúrát ezen homomorfizmusok ismeretében kaphatjuk meg. $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ $x$

Egy tetszőleges kategória meghatározása

Egy tetszőleges kategóriában a közvetlen határérték meghatározható univerzális tulajdonsága segítségével . Egy irányított rendszer közvetlen határa ugyanis egy olyan kategória tárgya , amelyre a következő feltételek teljesülnek: $(X_{i},f_{{ij}})$ $x$

van egy család a leképezéseknek , hogy bármely ; $\phi _{i}:X_{i}\to X$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$
a leképezések bármely családjához egy tetszőleges halmazhoz , amelyre az egyenlőségek bármelyikre érvényesek , létezik egy egyedi leképezés , amely mindenre vonatkozik . $\psi _{i}:X_{i}\to Y$ $Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$ $u:X\to Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i))$ $i\in I$

Általánosabban fogalmazva, egy irányított rendszer közvetlen határa megegyezik a kategorikus értelemben vett kolimitjával .

Példák

Egy adott halmaz részhalmazainak tetszőleges családján egy előrendelési struktúra definiálható befoglalással. Ha ez az előrendelés valóban irányított , akkor a család közvetlen határa a halmazok szokásos uniója.
Legyen p prímszám . _ Tekintsük a Z / p n Z csoportok és a Z / p n Z → Z / p n +1 Z homomorfizmusok irányított rendszerét, amelyet p -vel való szorzás okoz . Ennek a rendszernek a közvetlen határa tartalmazza az egységgyököket, amelyek sorrendje p valamilyen hatványa . Szorzócsoportjuk az úgynevezett Prufer-csoport Z ( p ∞ ).
Legyen F egy köteg egy X topológiai téren C -ben lévő értékekkel . Rögzítsen egy x pontot X -ben . Az x nyitott környezetei befogadással irányított rendszert alkotnak ( U ≤ V , ha U V -t tartalmaz ). A tekercsfunktor hozzárendel egy irányított rendszert ( F ( U ), r U , V ), ahol r restrikciós térképek. Ennek a rendszernek a közvetlen határát az F szálnak nevezzük az x felett , és F x -el jelöljük .
A topológiai terek kategóriájában a közvetlen korlátokat úgy kapjuk meg, hogy a végső topológiát hozzárendeljük a megfelelő támogatási halmazhoz.

Irodalom

S. McLane. Kategóriák egy dolgozó matematikusnak, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), Általános topológia: 1-4. fejezet , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485