Rendezett díszlet

Az irányított halmaz  egy nem üres A halmaz , amelynek reflexív tranzitív relációja ≤ van definiálva (vagyis egy előrendelés ), amelynek van egy további tulajdonsága: az A - ból származó bármely elempárnak van felső korlátja A -ban .

Az irányított halmazok a lineárisan rendezett halmazok általánosítása , vagyis minden lineárisan rendezett halmaz irányított (egy részlegesen rendezett halmazra ez általában nem igaz). A topológiában az irányított halmazokat az irányok meghatározására használják , amelyek egy sorozat általánosításai, és egységesítik a számításban használt határ fogalmát .

Példák

Példák irányított készletekre:

• Az N természetes számok halmaza ≤ standardrelációval irányított halmaz.
• N N természetes számpárból álló halmaz akkor lesz irányított halmaz, ha az összefüggést a következőképpen definiáljuk: ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) akkor és csak akkor, ha n 0 ≤ m 0 és n 1 ≤ m 1 .
• Az intervallum partícióinak halmaza ebben az esetben , ha a partíció a .
• Ha x 0 valós szám ,  akkor R - ből irányított halmazt készíthetünk : a ≤ b akkor és csak akkor , ha
  | a − x 0 | ≥ | b − x 0 |. Ez egy példa egy irányított halmazra, amely nincs részben rendezve .
• A részlegesen rendezett , nem irányított halmaz triviális példája az { a , b } halmaz, amelyben csak az a ≤ a és b ≤ b összefüggések vannak definiálva .
• Ha T  egy topológiai tér és x 0  egy pont T -ben, akkor az x 0 szomszédságok halmazán a következőképpen határozhatunk meg egy irányt: U ≤ V akkor és csak akkor, ha U V -t tartalmaz .
  • Minden U esetén : U ≤ U ; mivel U magában foglalja önmagát.
  • Minden U , V , W esetén: ha U ≤ V és V ≤ W , akkor U ≤ W ; hiszen ha U V -t és V W -t tartalmaz , akkor U W - t tartalmaz .
  • Minden U , V esetén van egy U V halmaz , amelyre U ≤ U V és V ≤ U V ; mivel U és V is U V -t tartalmaz .
• Egy P pózban a P valamelyik elemének alsó határainak halmaza , azaz egy { a | a P -ből , a ≤ x } ahol x  egy fix elem P -ből , irányított halmaz.

Irányított részhalmazok

Előfordulhat, hogy az irányreláció nem antiszimmetrikus , ezért az irányított halmazok nem mindig részben rendezettek . Az irányított halmaz kifejezést azonban gyakran használják a részben rendezett halmazok összefüggésében is. Így egy részlegesen rendezett halmaz ( P ,≤) A részhalmazát irányított részhalmaznak nevezzük, ha A nem üres, és A-ból minden a -ra és b - re létezik c A - ból úgy, hogy a ≤ c és b ≤ c . Itt az A -ból származó elemek sorrendi viszonya P -ből öröklődik ; ezért a reflexivitás és a tranzitivitás nem feltétlenül szükséges.

Irodalom

• Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
• L. V. Kantorovich és G. P. Akilov Funkcionális elemzés. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.