Projektív határ

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A projektív határérték ( inverz határérték ) egy olyan konstrukció, amelyet a matematika különböző ágaiban használnak, és amely lehetővé teszi, hogy új objektumot építsünk azonos típusú objektumok családjából ( irányított halmazzal indexelve) és leképezések halmazából , . A kategóriaelmélet határainak egyik fajtája . $x$ $X_{i}$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $i\leqslant j$

A projektív határértékre általában a következő jelölést használják:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

A projektív határérték tetszőleges kategóriában definiálható . A kettős fogalom a közvetlen határ .

Történelem

A projektív határok Aleksandrov műveiben jelennek meg . [egy]

Definíció

Algebrai szerkezetek

Algebrai rendszerek esetén a projektív határértéket a következőképpen határozzuk meg. Legyen irányított halmaz (például egész számok halmaza ), és legyen minden elem társítva valamilyen fix osztályból származó algebrai rendszerhez (például Abeli csoportok , modulok egy adott gyűrűn ), és minden pár olyan, hogy , , homomorfizmushoz társítható , és - azonos leképezések bármelyikéhez és bármelyikéhez . Ekkor egy irányított család projektív határának vivőhalmaza a közvetlen szorzat egy részhalmaza , amelynek elemeihez minden komponens ekvivalens az alacsonyabb indexű komponensekkel: $én$ $\leqslant$ $i\in I$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\in I$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $f_{{ii}}$ $i\in I$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $én$ $x$ $X_{i}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

Léteznek kanonikus vetületek , amelyek mindegyikhez kiválasztják a közvetlen szorzat edik komponensét . Ezeknek a vetületeknek homomorfizmusoknak kell lenniük, amelyek alapján a projektív határon vissza lehet állítani a hozzáadott algebrai struktúrát. $\pi_i\kettőspont X \az X_i$ $én$ $i\in I$

Általános eset

Egy tetszőleges kategóriában a projektív határérték univerzális tulajdonságával írható le . Legyen a C kategóriájú objektumok és morfizmusok olyan családja, amely az előző alfejezetben leírt követelményeket kielégíti. Ezt a rendszer projektív határértékének nevezzük , vagy ha a következő feltételek teljesülnek: $(X_{i},f_{{ij}})$ $x$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

van egy család a leképezéseknek , hogy bármely ; $\pi _{i}:X\-X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
a leképezések bármely családjához , egy tetszőleges objektumhoz , amelyre az egyenlőségek bármelyikre érvényesek , létezik egy egyedi leképezés , amely mindenre vonatkozik . $\psi _{i}:Y\to X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\-X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ $i\in I$

Általánosabban fogalmazva, a projektív határ a rendszer kategorikus értelmében vett határ . $(X_{i},f_{{ij}})$

Példák

Az egész -adikus számok egy sorozat projektív határértékei, amelyek természetes leképezései a "maradványt veszik" -nél . $p$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _{{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
A kommutatív gyűrű feletti formális hatványsorok gyűrűje a természetes számokkal és természetes vetületekkel indexelt gyűrűk projektív határértéke . $\textstyle R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
A Cantor-halmaz homeomorf a kétpontos halmazok ( diszkrét topológiájú ) szorzatainak projektív határához, amelyek leképezésként az első néhány koordinátára vetítődnek.
A véges csoportok véges (diszkrét) csoportok projektív határai.
A topológiai terek kategóriájában a projektív határértékeket a kezdeti topológia adja meg a megfelelő támaszkészleten.

Jegyzetek

↑ Aleksandrov P.S., „Ann. a Math. ", 1928, v. 30. o. 101-87.

Irodalom

McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Projektív határ - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Az inverz határértékek származtatott függvényei újra megvizsgálva // J. London Math. Szoc .. - 2006. - T. 73 , 1. sz . - S. 65-83 . - doi : 10.1112/S0024610705022416 .