Kváziciklusos csoport

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Egy kváziciklikus p - csoport fix p prímszám esetén az egyetlen p - csoport , amelyben bármely elemből pontosan p -edik fokú gyök nyerhető ki . Általában Z ( p∞ ) -ként jelölik

A kváziciklusos p - csoportot Prufer p - csoportnak is nevezik , Heinz Prüfer német matematikus után .

Tulajdonságok

Egy kváziciklusos p - csoport egy U(1) alcsoportként ábrázolható , amely p n fokú egységgyökökből áll , ahol n minden természetes számon áthalad:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ mathbb {N} \}.\;

Ezzel egyenértékűen egy kváziciklusos p -csoport a Q/Z részcsoportjaként tekinthető, amely olyan elemekből áll, amelyek sorrendje p hatványa :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

A Prufer p -csoportot generátorok és relációk is megadhatják :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\pontok \,\rangle .

A kváziciklikus p - csoport az egyetlen végtelen p - csoport, amely lokálisan ciklikus (vagyis olyan, hogy elemeinek bármely véges részhalmaza ciklikus csoportot generál ). Könnyen belátható, hogy egy kváziciklusos csoport minden megfelelő alcsoportja ciklikus.

Egy kváziciklusos csoport osztható .

A lokálisan kompakt topológiai csoportok elméletében a diszkrét topológiával felszerelt kváziciklikus p -csoport Pontrjagin duálisa a p -adikus egészek kompakt csoportjával .

A kváziciklikus p - csoportok az összes lehetséges p prímhez az egyetlen végtelen csoportok, amelyek alcsoportjaik halmazát beágyazással lineárisan rendezik:

0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).

Ezen a zárványláncon a Prufer p -csoport véges alcsoportjainak közvetlen határaként jelenik meg.

-modulként a Prufer p -csoport artini , de nem noetheri (hasonlóan artini , de nem noetheri ). Mint ilyen, ez egy ellenpélda arra a lehetséges állításra, hogy bármely Artinian Noether-modul. $\mathbb {Z}$

Linkek

kváziciklikus csoport (angolul) a PlanetMath webhelyen .
N. N. Williams. Kvázi ciklikus csoport a Wolfram MathWorld webhelyen .
Jacobson, Nathan. Alap algebra . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Absztrakt algebra. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost és WL Armacost. A p-tetikus csoportokról (angol) // Pacific J. Math .. - 1972. - Vol. 41. sz. 2 . - P. 295-301.