Elemek sorrendje

Egy elem sorrendje a csoportelméletben az a legkisebb pozitív egész szám , amelynél egy adott elem -szeres csoportszorzása önmagában semleges elemet ad : $m$ $m$ $g\in G$

\underbrace {gg\dots g}_{{m}}=g^{m}=e

Más szóval, az elem által generált ciklikus alcsoport különböző elemeinek száma . Ha nincs ilyen (vagy ennek megfelelően egy ciklikus részcsoport elemeinek száma végtelen), akkor azt mondjuk, hogy végtelen a rendje. Jelölve vagy . $m$ $m$ $g$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $|g|$

Egy csoport elemeinek sorrendjének tanulmányozása információt adhat a csoport felépítéséről. A különböző Burnside-problémák számos mély kérdést tartalmaznak az elemsorrend és a csoportsorrend közötti kapcsolatról , amelyek közül néhány nyitva marad.

Alaptulajdonságok

Egy elem sorrendje akkor és csak akkor egy, ha az elem semleges .

Ha minden nem semleges elem egybeesik az inverzével (vagyis ), akkor Abel -féle , mivel . Ennek fordítottja általában nem igaz: például a modulo 6 egész számok (additív) ciklikus csoportja Abel-féle, de a 2-es szám 3-as rendű: $G$ $g^{2}=e$ ${\mathrm {ord}}(a)=2$ $G$ $ab=(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}=ba$ $\mathbb{Z } _{6}$

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

Bármely egész számra az azonosság akkor és csak akkor érvényes, ha oszt . $k$ $g^{k}=e$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $k$

A végtelen rendű elem minden hatványának szintén végtelen a rendje. Ha véges a sorrendje, akkor a sorrend megegyezik a számok és a számok legnagyobb közös osztójával osztva . Az inverz elem sorrendje megegyezik magának az elemnek a sorrendjével ( ). $g$ $g^{k}$ $g$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $k$ ${\mathrm {ord}}(g)={\mathrm {ord}}(g^{{-1}})$

Kapcsolat a csoportos megrendeléssel

A csoport bármely elemének sorrendje osztja a csoport sorrendjét . Például egy hat elemből álló szimmetrikus csoportban a semleges elemnek (definíció szerint) az 1. rendje van, a három 2. rendű elemnek és a 3. rendűnek a maradék két eleme a 2. rendű elemek gyöke: az, hogy minden rend elem a csoport sorrendjének osztója. $S_{3}$ $e$ $e$

A részleges megfordítás igaz véges csoportokra ( csoportelméleti Cauchy-tétel ): ha egy prímszám osztja a csoport sorrendjét , akkor létezik olyan elem , amelyre . Az állítás nem érvényes az összetett rendekre, így a Klein-négyes csoport nem tartalmaz négyes rendű elemet. $p$ $G$ $g\in G$ ${\mathrm {ord}}(g)=p$

Gyártási sorrend

Bármely csoportban . ${\mathrm {ord}}(ab)={\mathrm {ord}}(ba)$

Nincs általános képlet, amely a szorzat sorrendjét a tényezők sorrendjéhez és a faktorok sorrendjéhez kötné . Lehetséges, hogy és , és véges rendűek, míg a szorzat sorrendje végtelen, az is lehetséges, hogy és , és végtelen sorrendű, míg véges. Példa az első esetre az egész számok feletti szimmetrikus csoportban a képletek által megadott permutációk , majd . A második esetre példa az ugyanabban a csoportban lévő permutációk, amelyek szorzata egy semleges elem (olyan permutáció , amely az elemeket a helyükön hagyja). Ha akkor vitatható, hogy osztja az és a számok legkisebb közös többszörösét . Ennek a ténynek az a következménye, hogy egy véges Abel-csoportban bármely elem sorrendje osztja a csoport elemeinek maximális sorrendjét. $ab$ $a$ $b$ $a$ $b$ $ab$ $a$ $b$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ $a(x)=2-x,b(x)=1-x$ $ab(x)=x-1$ $a(x)=x+1,b(x)=x-1$ $ab(x)={\mathrm {id}}$ $ab=ba$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ ${\mathrm {ord}}(a)$ ${\mathrm {ord}}(b)$

Számlálás elemsorrend szerint

Egy adott véges rendű csoport esetén a sorrendű ( osztó ) elemek száma a többszöröse , ahol az Euler-függvény , amely megadja a pozitív számok számát, amelyek nem haladják meg és viszonylag prímek . Például a , és esetén pontosan két 3. rendű elem van; ez az állítás azonban nem ad hasznos információt a 2. rendű elemekről, mivel , és nagyon korlátozott információt az összetett számokról, mint például a , since , és nulla 6. rendű elem van a csoportban. $G$ $n$ $d$ $d$ $n$ $\varphi (d)$ $\varphi$ $d$ $S_{3}$ $\varphi(3)=2$ $\varphi(2)=1$ $d=6$ $\varphi(6)=2$ $S_{3}$

Kapcsolat homomorfizmusokkal

A csoporthomomorfizmusok általában csökkentik az elemek sorrendjét. Ha homomorfizmus, és véges rendű elem, akkor osztja . Ha injektív módon , akkor . Ez a tény felhasználható annak bizonyítására, hogy bármelyik két csoport között nincs (injektív) homomorfizmus. (Például nincs nem triviális homomorfizmus , mivel a nullán kívül bármely szám 5-ös sorrendű, és az 5 nem osztja az 1-es, 2-es és 3- as elemsorrendet. ) Egy másik következmény, hogy a konjugált elemek sorrendje azonos . $f:G\ to H$ $g\in G$ ${\mathrm {ord}}(f(g))$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $f$ ${\mathrm {ord}}(f(g))={\mathrm {ord}}(g)$ $h:S_{3}\to \mathbb{Z } _{5}$ $\mathbb{Z } _{5}$ $S_{3}$

Irodalom

Kurosh A.G. Csoportelmélet. - Moszkva: Nauka, 1967. - ISBN 5-8114-0616-9 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . fejezet II. Csoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .