Végcsoport

A véges csoport az általános algebrában véges számú elemet tartalmazó csoport (ezt a számot " sorrendjének " nevezik) [1] . Továbbá feltételezzük, hogy a csoport szorzó , vagyis a benne lévő műveletet szorzásként jelöljük; az összeadás művelettel rendelkező adalékcsoportok külön vannak megadva. A multiplikatív csoport egységét az 1-es szimbólum jelöli. A csoport sorrendjét általában jelöljük $G$ $|G|.$

A véges csoportokat széles körben alkalmazzák mind a matematikában, mind más tudományokban: kriptográfia , krisztallográfia , atomfizika , ornamentika stb. A véges transzformációs csoportok szorosan összefüggenek a vizsgált objektumok szimmetriájával .

Példák

A maradék osztályok additív csoportja modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
Az egység gyökeinek $n$ multiplikatív csoportja , amely izomorf az előző csoporthoz.
A redukált maradékrendszer modulo : melynek sorrendje ( Euler függvény ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Nem kommutatív 8 kvaterniós egységből álló csoport: lásd Kvaterniócsoport . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\jobbra\};$
Szimmetrikus csoport ( elemek helyettesítésének vagy permutációjának csoportja) . A sorrendje egyenlő és nem kommutatív. $n$ $S_{n}$ $n!$ $n>2$
Klein négyes csoportja . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
A mező véges kiterjesztésének Galois-csoportja , és a csoport sorrendje megegyezik a kiterjesztés mértékével . Például a valós számok mezőjének kiterjesztéséhez az összes komplex szám mezőjére a Galois-csoport 2 elemet tartalmaz: az egységet ( identitástérkép ) és a komplex konjugációt .

Tulajdonságok és kapcsolódó definíciók

Cayley-tétel: egy véges csoport elemeinek szorzótáblája egy latin négyzetet alkot [2] .

Egy véges G csoport g elemének rendjét úgy definiáljuk, mint az m minimális természetes számot , hogy . A sorrend egy véges csoport minden elemére definiálva van. $g^{m}=1$

Lagrange-tétel : Egy véges csoport bármely részcsoportjának sorrendje osztója a csoport sorrendjének.

1. Következmény: egy véges csoport bármely elemének sorrendje osztója a csoport sorrendjének.
2. Következmény: egy véges n -rendű csoport bármely g eleme kielégíti az összefüggést: A számelméletben redukált maradékrendszerre ez a képlet adja a fontos Euler-tételt . $g^{n}=1.$
Következmény 3: egy véges csoport g eleme akkor és csak akkor teljesíti az összefüggést, ha a szám többszöröse a sorrendnek $g^{m}=1$ $m$ $g.$
4. Következmény: Legyen egy véges csoport g elemének sorrendje. Ennek az elemnek két hatványa egyenlő: akkor és csak akkor, ha a kitevők egybevágóak modulo $m.$ ${\displaystyle g^{i}=g^{k))$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m}}

Egy csoport sorrendjének az alcsoportja sorrendjével való osztásának hányadosát az alcsoport indexének nevezzük , és jelöli . Például a kvaternióegységek fenti csoportjában (8. rendű) van egy 2. rendű és 4. indexű alcsoport, valamint egy 4. és 2. indexű alcsoport. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Cauchy-tétel (1815): Minden olyan csoportnak, amelynek sorrendje osztható egy prímszámmal , van egy rendeleme . $p$ $p$

Ha egy csoport rendjének minden osztójához tartozik a rend egy alcsoportja , akkor a csoportot Lagrange -nak nevezzük . Nem minden csoport Lagrange-féle – például a dodekaéder forgási csoportjának sorrendje 60, de nincs 15-ös rendű alcsoportja [3] . Egy adott rendű részcsoport létezéséhez elegendő feltétel (néhány további feltevéssel) megalapozza a Sylow-tételeket . A Lagrange-csoportra példa a szimmetrikus csoport . $k$ $k$ $S_4$

Cosets és a hányadoscsoport

Legyen H egy m rendű részcsoport egy n rendű véges G csoportban . A H alcsoporttal ekvivalens elemeket tekintünk , ha léteznek olyanok, amelyekkel könnyen ellenőrizhető, hogy ez egy ekvivalencia reláció a G csoportban . A csoportot nem átfedő ekvivalenciaosztályokra, úgynevezett (bal) cosetekre bontja , amelyek mindegyike m elemet tartalmaz, és az osztályok száma megegyezik az alcsoport indexével. Minden elem a g összes lehetséges szorzata és a H alcsoport elemei által alkotott koszethez tartozik . $g,g'\in G$ $h\in H$ $g=g'h.$ $g\in G$ ${\bar {g}}=gH$

Ha a H alcsoport egy normálosztó , akkor a csoportművelet átvihető a koszettek halmazára a következő definícióval:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Egy ilyen művelet eredménye nem függ a képviselők megválasztásától, és a kosethalmazt faktorcsoportnak nevezett csoporttá alakítja . Meg van jelölve . Egy faktorcsoport sorrendje megegyezik a megfelelő alcsoport indexével. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Osztályozás

Egy adott rendelés különálló csoportjainak száma

rendelés	csoportok száma [4]	kommutatív	nem kommutatív
0	0	0	0
egy	egy	egy	0
2	egy	egy	0
3	egy	egy	0
négy	2	2	0
5	egy	egy	0
6	2	egy	egy
7	egy	egy	0
nyolc	5	3	2
9	2	2	0
tíz	2	egy	egy
tizenegy	egy	egy	0
12	5	2	3
13	egy	egy	0
tizennégy	2	egy	egy
tizenöt	egy	egy	0
16	tizennégy	5	9
17	egy	egy	0
tizennyolc	5	2	3
19	egy	egy	0
húsz	5	2	3
21	2	egy	egy
22	2	egy	egy
23	egy	egy	0
24	tizenöt	3	12
25	2	2	0
26	2	egy	egy
27	5	3	2
28	négy	2	2
29	egy	egy	0
harminc	négy	egy	3

Véges ciklikus csoportok

A véges ciklikus csoportok szerkezete a legegyszerűbb , minden eleme egy rögzített elem egymást követő hatványaként ábrázolható. $a:$

1,a,a^{2},a^{3}\pontok a^{{n-1}}\

( n a csoport sorrendje).

Az a elemet generátornak (vagy antiderivatívnak ) nevezzük egy adott csoporthoz, és magát a generált csoportot jelöljük $a,$ $\langle a\rangle .$

Egy csoport generáló elemeként nem csak egy elem működhet, hanem annak fokozatai is , amelyek kitevője a csoport sorrendjének megfelelő . Az ilyen generátorok száma egy n rendű csoporthoz ( az Euler -függvény ). Példa: egységből származó gyökök csoportja . $\langle a\rangle$ $a,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Bármely véges ciklikus rendű csoport izomorf az additív maradékosztály csoportjával . Az izomorf csoportok ezen osztályát általában a -val jelöljük . Ebből az következik, hogy $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

izomorfizmusig csak egy adott rendű véges ciklikus csoport létezik .
a ciklikus csoportok mindig kommutatív ( Abeli ) és Lagrange-i.
egy ciklikus csoportnak akkor és csak akkor vannak nem triviális alcsoportjai, ha a sorrendje összetett szám .
egy ciklusos csoport bármely alcsoportja is ciklikus. A G/H ciklikus csoport bármely hányadoscsoportja is ciklikus lesz . Egy ciklikus rendű csoport különálló alcsoportjainak száma megegyezik a szám (pozitív) osztóinak számával $n$ $n.$

Egy tetszőleges véges csoport bármely elemének hatványai egy ciklikus alcsoportot alkotnak (egy egység esetében ez egy triviális részcsoport , amely csak magából az egységből áll). Ez az alcsoport minden más elemet tartalmazó alcsoportban megtalálható A sorrend megegyezik a generáló elem sorrendjével Következmény: egy sorrendcsoport akkor és csak akkor ciklikus, ha azonos sorrendű elemet tartalmaz $a$ $G$ $H$ $a$ $g,$ $a.$ $H$ $a.$ $n$ $n.$

Minden csoport, amelynek sorrendje 4-nél kisebb, ciklikus, így nincs két azonos rendű nemizomorf csoport. Az 1. rendű csoport ( a triviális csoport ) csak az azonosságot tartalmazza. A 2. rendű csoport elemekből áll (és ); a planimetriában ilyen például az egységből (azonos transzformációból) és a rögzített egyenesre való tükörreflexióból történő transzformációk csoportja. A 3. sorrend csoportja elemeket tartalmaz ${\displaystyle \{1,a\))$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Nem minden kommutatív véges csoport ciklikus. A legegyszerűbb ellenpélda: a Klein-négyes csoport .

Elsődleges sorrendű csoportok (p-csoportok)

Legyen a csoportsorrend p prímszám , akkor a következő tulajdonságok érvényesek.

A csoport ciklikus .
A csoport kommutatív ( abeli ) és nilpotens .
Minden azonos p -rendű csoport izomorf egymással.

Általánosabb és bonyolultabb az az eset, amikor a csoport sorrendje egy prímszám hatványa; az ilyen csoportokat általában p-csoportoknak nevezik .

Egyszerű csoportok

Egy véges csoportot egyszerűnek nevezünk, ha minden normál alcsoportja triviális (vagyis egybeesik az azonossági alcsoporttal vagy a teljes csoporttal) [5] . Lásd az általános besorolásukat .

Kommutatív (abeli) csoportok

Főtétel ( Frobenius ): Minden kommutatív véges csoport ábrázolható p-csoportok közvetlen összegeként . Ez a véges generált Abel-csoportok szerkezetére vonatkozó általános tétel következménye arra az esetre, amikor a csoportnak nincsenek végtelen sorrendű elemei.

Történelem

A véges csoportok első tanulmányai jóval a kifejezés megjelenése előtt jelentek meg, és ennek a szerkezetnek a konkrét képviselőit érintették. Első alkalommal merült fel ilyen igény a gyökökben való megoldhatóság algebrai egyenletek tanulmányozása során , amelyhez Larrange , Ruffini és Abel mélyrehatóan tanulmányozta a polinomgyökök permutációs csoportjait . 1771-ben Lagrange felfedezett egy tételt a ciklikus permutációs csoportokra , amely róla elnevezett, és teljesen általános jellegű. Abel jelentősen kiegészítette Lagrange eredményeit, és mióta tisztázta a kommutatív permutációs csoportok szerepét ebben a problémában, az ilyen csoportokat azóta Abeli-nek nevezik. Cauchy 1815-ben bebizonyította, hogy minden olyan csoportnak, amelynek sorrendje osztható egy p prímszámmal, van p rendű eleme. A bizonyítás általános jellegű volt, bár Cauchy is a permutációs csoportra szorítkozott.

A jövő elméletének második tárgya az additív maradékcsoportok voltak . A két elemből álló legegyszerűbb, nem triviális csoportot Leibniz vette figyelembe , és ennek a szerkezetnek egy értelmes elméletét Euler és Gauss adta egy tetszőleges modulra .

A "csoport" kifejezés először Galois munkáiban jelent meg , aki szintén tanulmányozta a permutációs csoportokat, de a meghatározást meglehetősen általános formában adták meg. Galois bemutatta a normál alcsoport , a hányadoscsoport és a megoldható csoport alapvető fogalmait is .

1854-ben Cayley megadta a csoport első absztrakt meghatározását. Egy 1878-as cikkében bebizonyította egy tetszőleges véges csoport permutációkkal történő ábrázolásának kulcstételét. 1872-ben Sylow norvég matematikus megszerezte híres eredményeit a maximális p-alcsoportokról, amelyek a mai napig a véges csoportelmélet alapját képezik.

Az absztrakt véges csoportok elméletéhez jelentős mértékben hozzájárult Frobenius is , akinek köszönhetően a véges Abeli csoportokat teljesen leírták, és megalkották a mátrixreprezentációik elméletét. A 19. század végére a véges csoportokat mind a matematikában, mind a természettudományokban (például a krisztallográfiában ) sikerrel alkalmazták. A 20. század elején Emmy Noether és Artin munkássága fektette le a modern csoportelmélet alapjait.

Lásd még

Irodalom

Vectomov E. M. A Lagrange-csoportokról. §egy. A csoportelmélet történetéből // A matematika és a matematikaoktatás történeti és tudományos kutatásának problémái: A nemzetközi tudományos konferencia anyaga. - Perm: Perm állam. Pedagógiai Egyetem, 2007. - S. 23-32 . .
Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Véges egyszerű csoportok. Bevezetés osztályozásukba. - M .: Mir, 1985.
Matematikai Enciklopédia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982.
Navarro, Joaquin. A Nézőüvegen keresztül. Szimmetria a matematikában. — M .: De Agostini, 2014. — 160 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 17. kötet). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hall M. Csoportok elmélete. M. : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1962.

Linkek

Véges csoport a Wolfram Math Worldnél. (Angol)

Jegyzetek

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , 2. kötet. Véges csoport.
↑ Malykh A. E. A Kirkman-problémáról és annak fejlődéséről a 19. század második felében - a 20. század elején // A matematikai és matematikai oktatás történeti és tudományos kutatásának problémái: A nemzetközi tudományos konferencia anyaga, Perm, 2007. szeptember .. - Perm : Perm állam. Ped. Egyetem, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, jan. A modern matematika fogalmai. - Minszk: Felsőiskola, 1980. - S. 133-134. — 384 p.
↑ Humphreys, John F. Csoportelméleti kurzus . - Oxford University Press , 1996. - P. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , 4. kötet. Egy egyszerű csoport.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció