P-csoport

p -csoport - olyan csoport , amelyben az egyes elemek sorrendje egy p prímszám hatványa .

Példák

Ciklikus rendelési csoport és az ilyen csoportok közvetlen termékei. $p^{n}$
- Minden kommutatív p - csoport izomorf e példák egyikével.
A Heisenberg csoport modulo a legegyszerűbb példa a nem kommutatív p - csoportra. $p$
A Grigorcsuk-csoport egy végtelen 2-csoport példája.

Tulajdonságok

Egy nem triviális véges p - csoport középpontja egy nem triviális csoport. $Z(P)$ $P$
- Különösen az összes p-csoport nilpotens .
- Sőt, ha
egy normál alcsoport egy p -csoportban , akkor . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Ezt a tulajdonságot a középponttételből kapjuk, ha figyelembe vesszük, hogy egy p -csoport bármely részcsoportja maga is p -csoport, és hogy egy normál részcsoport konjugáció esetén invariáns.

Ha a csoport véges, akkor a sorrendje is egyenlő p valamilyen hatványával (ez következik Sylow első tételéből ).

Sőt, bármely sorrendi csoport p -csoport ( Legendre tételéből következik ). $p^{n}$

A nem izomorf rendű csoportok száma aszimptotikusan egyenlő

n\jobbra nyíl\infty

p^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Lásd még

Égési probléma

Irodalom

Kurosh A. G. A csoportok elmélete . - 3. kiadás — M.: Nauka , 1967. — 648 p. — ISBN 5-8114-0616-9 . (Orosz)
Hall M. Csoportok elmélete. - M .: Külföldi irodalom Kiadó, 1962.
Gorenstein D. Véges csoportok – NY: Harper and Row, 1968.