Heisenberg csoport

A Heisenberg - csoport alak négyzetmátrixaiból álló csoport

{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},

ahol az a , b , c elemek valamilyen egységnyi kommutatív gyűrűhöz tartoznak . Ilyenként az R gyűrűt leggyakrabban:

valós számok gyűrűje - az úgynevezett folytonos Heisenberg-csoport, amelyet , ill $R={\mathbb {R}}$ $H_{3}({\mathbb {R}})$
egész számok gyűrűje - az úgynevezett diszkrét Heisenberg-csoport, amelyet , ill $R=\mathbb{Z}$ $H_{3}({\mathbb {Z}})$
p prímszámú maradékgyűrű — a csoportot jelöli . $R={\mathbb {Z}}_{p}$ $H_{3}({\mathbb {Z}}_{p})$

Werner Heisenbergről nevezték el , aki a kvantummechanikában használta a csoportot: A folytonos Heisenberg-csoportot egydimenziós kvantummechanikai rendszerek leírására használják.

Változatok és általánosítások

A Heisenberg-csoport tetszőleges számú dimenzióra általánosít. A Heisenberg-csoport ugyanis n + 2 rendű négyzetmátrixokból áll : $H_{{n+2}},\ n\geq 1,$

{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&1&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&1&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&1\\\end{pmatrix}},

az elemek valamilyen identitású kommutatív gyűrűhöz tartoznak. $a_{i},b_{i},c$

A folytonos Heisenberg-csoport egy összefüggő, egyszerűen összekapcsolt Lie-csoport (a szabványos topológia által generált topológiával ), amelynek Lie algebra ( 2n+1 dimenziójú ) a következő alakú mátrixokból áll. $H_{{n+2}}({\mathbb {R}})$ $\mathbb {R}$

{\begin{pmatrix}0&a_{1}&a_{2}&\pontok &a_{n}&c\\0&0&0&\pontok &0&b_{1}\\0&0&\dpontok &\dpontok &\vpontok &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&0&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&0\\\end{pmatrix}}.

Jegyzetek

Kirillov A.A. Elements of Representation Theory, Moszkva: Nauka, 1978. Archivált : 2014. július 27. a Wayback Machine -nél
Ernst Binz és Sonja Pods Geometry of Heisenberg Groups, - American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3 .
» Videó » Letöltés Kutató Roger Evans Howe A Heisenberg-csoport szerepéről a harmonikus elemzésben, Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
A. A. Kirilov . Előadások a pályamódszerről (2. fejezet: A Heisenberg-csoport reprezentációi és pályái), - American Mathematical Society, 2004.