Gyűrű (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A gyűrű (egyben asszociatív gyűrű ) az általános algebrában olyan algebrai struktúra , amelyben a reverzibilis összeadás és a szorzás művelete definiálva van , tulajdonságaiban hasonlóak a megfelelő számműveletekhez . A gyűrűk legegyszerűbb példái a számok gyűjteményei ( egész szám , valós , komplex ), egy adott halmazon definiált numerikus függvények gyűjteményei . Minden esetben létezik a számgyűjteményekhez hasonló halmaz abban az értelemben, hogy elemeiösszeadható és szorozható, és ezek a műveletek természetesen viselkednek [1] .

A szorzási és összeadási műveletek általános tulajdonságainak, egymással való belső kapcsolatának tanulmányozására, függetlenül attól, hogy milyen elemeken végezzük a műveleteket, bevezették a gyűrű fogalmát [2] .

A gyűrűk a gyűrűelmélet tanulmányozásának fő tárgya - az általános algebra egyik fő része, amelyben olyan eszközöket fejlesztettek ki, amelyek széles körben alkalmazhatók az algebrai geometriában , az algebrai számelméletben , az algebrai elméletben $K$ és az invariáns elméletben .

Történelem

Az algebra mint tudomány rohamos fejlődése a 19. században kezdődött. A számelmélet egyik fő feladata az 1860-as és 1870-es években az oszthatóság elméletének felépítése volt az algebrai számok általános területein . A probléma megoldását Richard Dedekind publikálta ("X Supplement to előadáss on theory of Dirichlet-számok", 1871). Ebben a munkában először a számmező egész számokból álló gyűrűjének fogalmát vettük figyelembe, ezzel összefüggésben a modul és az ideál fogalmát definiáltuk [3] .

Definíció

A gyűrű egy halmaz , amelyen két bináris művelet van megadva : és ( összeadásnak és szorzásnak nevezik ), a következő tulajdonságokkal, amelyek bármelyikre érvényesek : $R$ $+$ $\szor$ $a, b, c \in R$

$a + b = b + a$ — az összeadás kommutativitása ;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - az összeadás asszociativitása ;
$\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - az összeadás tekintetében semleges elem megléte ;
$\mindig a\in R\;\létezik b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ - az összeadás tekintetében ellentétes elem megléte;
$(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$ — a szorzás asszociativitása;
$\left\{{\begin{mátrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{mátrix}}\jobbra.$ - disztributivitás .

Más szóval, a gyűrű egy univerzális algebra , amely egy Abel-csoport az összeadás tekintetében , egy félcsoport a szorzás tekintetében , és kétoldali eloszlású a . $\left(R,+,\times\right)$ $+$ $\szor$ $\szor$ $+$

A gyűrűk a következő további tulajdonságokkal rendelkezhetnek:

egység jelenléte : ( gyűrű egy egységgel ), általában egy egységet 1-gyel jelölnek; $\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
szorzás kommutativitása : ( kommutatív gyűrű ); $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

Néha egy gyűrű alatt csak egy egységgel rendelkező gyűrűt értünk [4] (azaz monoidnak kell lennie ), de az egység nélküli gyűrűket is tanulmányozzák (például a páros számok gyűrűje kommutatív asszociatív gyűrű egység nélkül [5] ). $\left(R,\times\right)$

Szimbólum helyett gyakran szimbólumot használnak (vagy teljesen elhagyják). $\szor$ $\cdot$

A legegyszerűbb tulajdonságok

A gyűrűaxiómákból közvetlenül a következő tulajdonságok következtethetők:

a gyűrűben való összeadás tekintetében a semleges elem egyedülálló;
a gyűrű bármely eleménél a vele fordított elem ráadásul egyedi;
a szorzás alatt álló semleges elem, ha létezik, egyedi;
$a\cdot 0 = 0,$ azaz 0 szorzás által elnyelő elem;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ ahol az elem inverze az összeadáshoz; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Alapfogalmak

Gyűrűelemek típusai

Legyenek a gyűrűnek nullától eltérő elemei (a gyűrű nem triviális ). Ekkor a bal oldali nullaosztó a gyűrű nullától eltérő eleme , amelyhez létezik a gyűrű nullától eltérő eleme, így a jobb oldali nullaosztó is hasonlóan van meghatározva. A kommutatív gyűrűkben ezek a fogalmak egybeesnek. Példa: tekintsünk folytonos függvények gyűrűjét egy intervallumon. Legyen tehát nulla osztó. Itt a feltétel azt jelenti, hogy nullától eltérő függvény, de nem azt jelenti, hogy sehol sem vesz fel értéket [7] $a$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-tizenegy).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $f$ $f$ $0.$

A nilpotens elem egy olyan elem , amelyre valamilyen Példa: mátrix Egy nilpotens elem mindig nullaosztó (kivéve, ha a gyűrű egy nullából áll), ennek fordítottja általános esetben nem igaz [8] . $a,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Idempotens elem olyan elem, amelyben például bármely vetületi operátor idempotens , különösen a következő: a mátrixgyűrűben [9] $e$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2\szer 2.$

Ha egy azonosságú gyűrű tetszőleges eleme, akkor a k bal oldali inverz eleme olyan , hogy a jobb oldali inverz elemet hasonlóan definiáljuk. Ha egy elemnek van bal és jobb oldali inverz eleme is, akkor az utóbbiak egybeesnek, és azt mondják, hogy van egy inverz eleme, amelyet egyedileg definiálunk és jelölünk . Magát az elemet invertálható elemnek nevezzük. [7] $a$ $R,$ $a$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $a$ $a$ $a^{-1}.$

Subring

Egy részhalmazt akkor nevezünk részgyűrűnek , ha maga is gyűrű a következőben definiált műveletekhez képest. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a gyűrű kiterjesztése [10] Más szóval, egy nem üres részhalmaz egy részgyűrű, ha $R részhalmaz$ $R,$ $A$ $R.$ $R$ $A.$ $R részhalmaz$

$A$ a gyűrű additív alcsoportja , azaz bármely $R,$ $x, y \in A : x+y, -x \in A,$
$A$ szorzás alatt zárva van, azaz tetszőlegesre $x, y \in A : xy \in A.$

Definíció szerint az algyűrű nem üres , mert tartalmazza a null elemet . Egy gyűrű nullája és egye nulla, és bármely algyűrűjének egyike [11] .

Az algyűrű örökli a kommutatív tulajdonságot [12] .

Az algyűrűk bármely halmazának metszéspontja részgyűrű. A legkisebb részhalmazt tartalmazó részgyűrűt a gyűrűt generáló rendszer által generált részgyűrűnek nevezzük, ilyen mindig létezik, mivel az összes algyűrűt tartalmazó részgyűrű metszéspontja megfelel ennek a definíciónak. [tizenegy] $E\alhalmaz R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

Egy gyűrűnek az identitása által generált identitással rendelkező részgyűrűjét a gyűrű legkisebb vagy fő részgyűrűjének nevezzük . Ilyen algyűrű a gyűrű bármely részgyűrűjében található [13]. $R,$ $R.$ $R.$

Ideálok

A gyűrűideál definíciója és szerepe hasonló a normál alcsoport csoportelméleti definíciójához [14] .

A gyűrű egy nem üres részhalmazát bal ideálisnak nevezzük, ha: $én$ $R$

$én$ a gyűrű egy additív alcsoportja , azaz a -ból származó tetszőleges két elem összege az és -hez tartozik $én$ $én$ $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

$én$ A bal oldalon a gyűrű egy tetszőleges elemével való szorzás zárva van, azaz bármelyik igaz . $a\ben én,$ $r\in R$ $ra\in I$

Az első tulajdonság azt is magában foglalja, hogy a szorzás alatt zárva van magában, tehát ez egy részgyűrű. $én$ $én$

Hasonlóképpen definiálunk egy jobb oldali ideált, amelyet a jobb oldali gyűrű egy elemével szorozunk.

A gyűrű kétoldalú ideálja (vagy csak egy ideálja) bármely nem üres részhalmaz, amely bal- és jobboldali ideál is. $R$

A gyűrűideál egy homomorfizmus magjaként is definiálható [15] . $R$ $f:R\to R'$

Ha a gyűrű eleme , akkor a forma elemeinek halmazát (illetve ) a bal (illetve, jobb) főideálnak nevezzük, amelyet a generál . Ha a gyűrű kommutatív, akkor ezek a definíciók egybeesnek, és a generált főideált jelöljük , például az összes páros szám halmaza alkot egy ideált az egész számok gyűrűjében, ezt az ideált a 2 elem generálja. az egész számok gyűrűjében lévő ideálok fő [16] . $x$ $R$ $Rx$ $xR$ $x$ $R$ $x,$ $(x).$

Egy olyan gyűrű ideált, amely nem esik egybe az egész gyűrűvel, egyszerűnek nevezzük, ha az ideál hányadosgyűrűjének nincs nulla osztója. Maximálisnak nevezzük az olyan gyűrű ideált, amely nem esik egybe a teljes gyűrűvel, és nem szerepel egyetlen nagyobb ideálban sem, amely nem egyenlő a gyűrűvel [17] .

Homomorfizmus

A gyűrűhomomorfizmus (gyűrűhomomorfizmus) olyan leképezés, amely megőrzi az összeadás és szorzás műveleteit. Ugyanis a gyűrű -gyűrű homomorfizmus olyan függvény , hogy $R$ $S$ $f:R\to S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

Azonosságú gyűrűk esetében néha a [18] [19] feltételek is szükségesek . $f(1) = 1$

A gyűrűs homomorfizmust izomorfizmusnak nevezzük, ha létezik inverz gyűrűhomomorfizmus. Minden bijektív gyűrűhomomorfizmus izomorfizmus. Az automorfizmus egy homomorfizmus egy gyűrűből önmagába, ami izomorfizmus. Példa: egy gyűrű identitásleképezése önmagára egy automorfizmus [20] .

Ha gyűrűhomomorfizmus, akkor az eltűnő elemek halmazát kernelnek nevezzük (jellel jelöljük ). Bármely homomorfizmus magja kétoldalú ideál [21] . Másrészt a kép nem mindig ideál, hanem algyűrű [15] (jelölése ). $f:R\to S$ $R,$ $f$ $\mathrm{ker} f$ $f$ $S$ $\mathrm{im}f$

Factor ring

A hányadosgyűrű ideál általi meghatározása hasonló a hányadoscsoport definíciójához . Pontosabban, egy gyűrű hányadosgyűrűje egy kétoldali ideál alapján egy additív csoport koszeteinek halmaza egy additív alcsoport szerint a következő műveletekkel: $R$ $én$ $R$ $én$

${\megjelenítési stílus (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ ,
${\megjelenítési stílus (a+I)(b+I)=(ab)+I}$ .

Hasonlóan a csoportokhoz, létezik egy kanonikus homomorfizmus , amelyet a . A mag az ideális . $p: R \ to R/I$ $x \mapsto x + I$ $én$

A csoporthomomorfizmus-tételhez hasonlóan létezik egy gyűrűhomomorfizmus-tétel: akkor legyen izomorf egy hányadosgyűrűhöz a homomorfizmus magjához képest [22] . $f:R\to R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

A gyűrűk néhány speciális osztálya

Az egységnyi gyűrűt , amelyben minden nullától eltérő elem megfordítható, gyűrűnek nevezzük [23] . $1\neq 0$
A kommutatív testet mezőnek nevezzük [24] ; más szóval a mező egy kommutatív gyűrű identitással, amely nem rendelkezik nem triviális ideálokkal [8] [25] .
A nulla osztók nélküli kommutatív gyűrűt integritástartománynak (vagy integrálgyűrűnek) nevezzük [26] . Bármely mező integritási terület, de ennek fordítva nem igaz [27] .
Egy olyan integrálgyűrűt , amely nem mező, euklideszinek nevezzük, ha a gyűrűn olyan normát adunk, hogy: $R$ ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+))$
1. minden nullától eltérőre igaz, hogy ; $a, b \in R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. bármely nullától eltérő értékre létezik olyan, hogy és vagy
[26] . $a, b \in R$ $q,r \in R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N( r ) < N(b)$
Az olyan integrálgyűrűt, amelyben minden ideál fő, főideálok gyűrűjének nevezzük ; minden euklideszi gyűrű és minden mező fő ideális gyűrű [12] .
Azt a gyűrűt , amelynek elemei számok , műveletei pedig számok összeadása és szorzása , számgyűrűnek nevezzük , például a páros számok halmaza számgyűrű, de egyetlen negatív számrendszer sem lesz gyűrű, mivel a szorzatuk pozitív. [28] .

Példák

$\{0\}$ egy triviális gyűrű , amely egy nullából áll. Ez az egyetlen gyűrű, amelyben a nulla szorzó egy [5] . Célszerű ezt a triviális példát kategóriaelméleti szempontból gyűrűnek tekinteni , mivel ebben az esetben a gyűrűk kategóriáiban terminális objektum keletkezik .
$\mathbb {Z}$ - egész számok (a szokásos összeadás és szorzás mellett). Ez a gyűrű legfontosabb példája , mivel bármelyik gyűrűt tekinthetjük algebraként . Ez a kiinduló objektum az egységgyűrűk Ring kategóriájában is. [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ véges maradékgyűrű modulo egy n természetes szám . Ezek klasszikus példák a gyűrűkre a számelméletből. A maradékgyűrű akkor és csak akkor mező, ha n prím . [31] A megfelelő mezők a véges mezők elméletének megalkotásának kiindulópontjai . A maradékgyűrűk a véges generált Abel-csoportok szerkezetének vizsgálatában is fontosak , és p -adikus számok megalkotására is használhatók .
$\mathbb {Q}$ a racionális számok gyűrűje , amely egy mező. Ez a karakterisztikus 0 legegyszerűbb tere. Ez a számelmélet fő vizsgálati tárgya. Különböző nem ekvivalens normák szerint kiegészítve valós számok és p -adikus számok mezőit kapjuk, ahol p tetszőleges prímszám [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
Egy tetszőleges kommutatív gyűrűhöz konstruálhatunk egy polinom gyűrűt n változóból , együtthatókkal a [11]-ben . Konkrétan egy egész együtthatós polinomgyűrű egy univerzális polinomgyűrű, abban az értelemben, hogy minden polinomgyűrűt tenzorban fejezünk ki. termék : $R$ $R[x_1,x_2,\pontok,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\pontok,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\pontok,x_n]\jobb).$
Egy halmaz részhalmazainak gyűrűje olyan gyűrű, amelynek elemei részhalmazok a -ban . Az összeadás művelete szimmetrikus különbség , a szorzás pedig a halmazok metszéspontja : $x$ $x$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

A gyűrűaxiómák könnyen ellenőrizhetők. A nulla elem egy üres halmaz, az egység a minden. A gyűrű minden eleme idempotens, azaz bármely elem inverze ráadásul: A részhalmazok gyűrűje fontos a Boole-algebrák és a mértékelmélet elméletében , különösen a valószínűségszámítás felépítésében [5] .

x.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Konstrukciók

Közvetlen termék

Gyűrűk terméke és felszerelhető természetes gyűrűszerkezettel: bármilyen , : $R\-szer S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\in R$ $s_{1},s_{2}\in S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Hasonló konstrukció létezik egy tetszőleges gyűrűcsalád szorzatára (összeadás és szorzás komponensenként adott) [33] .

Legyen kommutatív gyűrű , és páronként koprím ideálok legyenek benne (az ideálokat koprímnek nevezzük, ha összegük egyenlő a teljes gyűrűvel). A kínai maradék tétel kimondja, hogy egy leképezés: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

szürjektív, magja pedig ( ideálok terméke, ideálok metszéspontja ) [ 18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Endomorfizmusok gyűrűje

Egy Abel-csoport endomorfizmusainak halmaza egy gyűrűt alkot, amelyet jelöl . Két endomorfizmus összegét komponensenként határozzuk meg: , a szorzatot pedig összetételként definiáljuk: . Ha nem Abeli csoport, akkor általánosságban véve nem egyenlő -vel , míg a gyűrűben az összeadásnak kommutatívnak kell lennie [34] . ${\megjelenítési stílus (A,+)}$ $\operatorname {End} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ ${\megjelenítési stílus (A,+)}$ $f+g$ $g+f$

A közlegények mezeje és a közlegények köre

Egy integrál gyűrű esetében létezik egy olyan konstrukció, amely lehetővé teszi az azt tartalmazó legkisebb mező megalkotását . A parciális gyűrűk mezője a formális törtek ekvivalenciaosztályainak halmaza a következő ekvivalencia-reláció szerint : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\in R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

ha, és csak akkor ha

{p_1q_2}={p_2q_1},

normál működéssel: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Nem egészen nyilvánvaló, hogy az adott reláció valóban ekvivalenciareláció: a bizonyításhoz a gyűrű integritását kell használni. Ezt a konstrukciót általánosítják tetszőleges kommutatív gyűrűkre. Mégpedig egy kommutatív gyűrűben lévő multiplikatívan zárt rendszer (vagyis egy részhalmaz, amely egyet tartalmaz, és nem tartalmaz nullát; a részhalmaz bármely két elemének szorzata ismét ehhez tartozik). Ekkor a hányadosok gyűrűje a formális törtek ekvivalenciaosztályainak halmaza az ekvivalenciarelációhoz képest: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\in R, s\in S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

ha és csak akkor létezik ilyen

s'\in S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Ezt a konstrukciót a gyűrű lokalizációjának is nevezik (mivel az algebrai geometriában lehetővé teszi a sokaság lokális tulajdonságainak tanulmányozását az egyes pontokon). Példa: tizedesjegyek gyűrűje - az egész számok gyűrűjének lokalizálása a szorzórendszer szerint $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Létezik egy természetes leképezés A kernel olyan elemekből áll, amelyekhez létezik olyan, hogy . Ez a térkép különösen egy integrál gyűrű esetében injektív [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $s\in S$ $rs=0$

Kategorikus leírás

A gyűrűk a gyűrűhomomorfizmusokkal együtt egy kategóriát alkotnak , amelyet általában jelölnek (néha az egységgel rendelkező gyűrűk kategóriáját így, a közönséges gyűrűk kategóriáját pedig -vel jelöljük ). Az egységgyűrűk kategóriája számos hasznos tulajdonsággal rendelkezik: különösen teljes és komplett . Ez azt jelenti, hogy minden kis határ és kolimit létezik benne (például termékek , társtermékek , magok és kokernelek ). Az egységgel rendelkező gyűrűk kategóriájában van egy kezdeti objektum (gyűrű ) és egy végobjektum (nulla gyűrű). $\mathbf {Ring}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

A gyűrűnek a következő kategorikus definíciója adható: az egységgel rendelkező asszociatív gyűrű monoid az Abel-csoportok kategóriájában (az Abeli-csoportok a tenzorszorzat művelet szempontjából monoid kategóriát alkotnak ). Az R gyűrű hatása egy Abel-csoportra (a szorzással monoidként kezelt gyűrű ) egy Abel-csoportot R - modullá változtat . A modul fogalma általánosítja a vektortér fogalmát : durván szólva a modul „vektortér egy gyűrű felett”. [29] [30]

A gyűrűk speciális osztályai

Artin gyűrűje
Dedekind gyűrű
elosztó gyűrű
differenciálgyűrű
Főbb ideálok gyűrűje
Euklideszi gyűrű
Bezu gyűrűje
Lee gyűrűje
véggyűrű
helyi gyűrű
Noéteri gyűrű
Integritási terület
A fő ideálok birodalma
elsődleges gyűrű
Félig lokális gyűrű
félig elsődleges gyűrű
Félig egyszerű gyűrű
Félig láncolt gyűrű
egyszerű gyűrű
faktoriális gyűrű
láncgyűrű

Általánosítások - nem asszociatív gyűrű , félgyűrű , gyűrűközeli .

Gyűrűk feletti szerkezetek

Jegyzetek

↑ Vinberg, 2011 , p. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - 2. sz .
↑ Erich Reck. Dedekind hozzájárulásai a matematika alapjaihoz // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Az eredetiből archiválva: 2013. december 2.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , p. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , p. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , p. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , p. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , p. tizenegy.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 359.
↑ Vinberg, 2011 , p. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , p. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , p. 21.
↑ Kulikov, 1979 , p. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , p. 153.
↑ Kulikov, 1979 , p. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , p. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , p. tíz.
↑ Vinberg, 2011 , p. 388.
↑ Kulikov, 1979 , p. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , p. 432.
↑ Vinberg, 2011 , p. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , p. 523.
↑ Arc, 1977 , p. 152.
↑ Kulikov, 1979 , p. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , p. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , p. 266.
↑ 1 2 Arc, 1977 .
↑ 1 2 Arc, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , p. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , p. 305-311.

Irodalom

M. Atiyah , I. MacDonald. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M . : Mir, 1972. - 160 p.
Belsky A., Sadovsky L. Gyűrűk. // Quantum No. 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : Mir, 1975. - 623 p.
Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - Új, átdolgozott kiadás. és további .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 p.
Glazer G. I. Matematika története az iskolában: IX-X évfolyam. Tanári Útmutató – Új, átdolgozott kiadás. és további .. - M . : Oktatás, 1983. - 351 p.
A 19. század matematikája. Matematikai logika. Algebra. Számelmélet. Valószínűségelmélet / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (szerk.). — M .: Nauka, 1978. — 255 p.
Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet: Proc. kézikönyv a pedagógiai intézetek számára. - M . : Feljebb. iskola, 1979. - 559 p.
Kurosh A. G. Magasabb algebrai kurzus .. - M . : Nauka, 1968. - 431 p.
Arc K. Algebra. Gyűrűk, modulok, kategóriák. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
Arc K. Algebra. Gyűrűk, modulok, kategóriák. - M . : Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
Herstein I. Nem kommutatív gyűrűk. - M . : Mir, 1972. - 190 p.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754