Monoid kategória

A monoidális kategória (vagy tenzorkategória ) egy bifunktorral felszerelt C kategória

⊗ : C × C → C ,

ami asszociatív egy természetes izomorfizmusig , valamint az I objektum is , amely a ⊗ azonossága egy természetes izomorfizmusig is. A természetes izomorfizmusokra további feltételek is vonatkoznak. A monoid kategóriában megadható a monoid definíciója, amely általános algebrából általánosítja a monoid tulajdonságait . Valójában a közönséges monoidok a készletek kategóriájába tartozó monoidok , amelyeknek monoid terméke a közvetlen termék.

A szokásos tenzorszorzat a vektortereket , Abel csoportokat és modulokat monoid kategóriává teszi, tetszőleges monoid kategóriák tekinthetők e példák általánosításának.

Definíció

Formálisan a monoidális kategória a következőkkel felszerelt kategória: $\mathbf {C}$

bifunktor , amelyet tenzor terméknek vagy monoid terméknek neveznek , $\otimes \colon {\mathbf C}\times {\mathbf C}\to {\mathbf C}$
egységnek vagy azonos objektumnak nevezett objektum , $én$
három természetes izomorfizmus kifejezi azt a tényt, hogy a tenzorszorzat művelet
- asszociatív: létezik természetes izomorfizmus (ún. asszociátor ) , , $\alpha$ $\alpha _{{A,B,C}}\kettőspont (A\néha B)\otimes C\otimes A\otimes (B\otimes C)$
- $én$ az egység: két természetes izomorfizmus van és , és . $\lambda$ $\rho$ $\lambda _{A}\colon I\otimes A\to A$ $\rho _{A}\colon A\otimes I\to A$

Ezekre a természetes izomorfizmusokra további feltételek vonatkoznak:

az összes , , , a következő ötszögletű diagramban kommutatív : $A$ $B$ $C$ $D$ $\mathbf {C}$

mindenre , és a háromszögdiagram kommutatív: $A$ $B$

Ezekből a feltételekből következik, hogy minden ilyen típusú diagram (vagyis olyan diagram, amelynek nyilai , , , egységből és a tenzorszorzatból állnak) kommutatív: ez MacLane koherenciatételének tárgya . Például az asszociátor számos alkalmazásával könnyen kimutatható, hogy és izomorfak. Az asszociátorok különböző sorrendben alkalmazhatók (például a diagram két módszert mutat N = 4 esetén), de a koherencia tételből következik, hogy az alkalmazások különböző sorozatai ugyanazt a leképezést határozzák meg. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$ $(A_{N}\otimes A_{{N-1}})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})$ $(A_{N}\otimes (A_{{N-1}}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})$

Szigorúan monoid kategória az a kategória, amelyben az α , λ , ρ természetes izomorfizmusok azonosak.

Példák

Minden véges szorzatú kategória monoidális, a kategorikus szorzat monoid szorzat, és a terminális objektum az egység. Egy ilyen kategóriát néha Descartes-féle monoidális kategóriának is neveznek . Például:
- ${\mathbf {Set}}$ — a derékszögű szorzatot és az egyelemű halmazt egységként tartalmazó halmazok kategóriája .
Bármely véges együttszorzatú kategória is monoidális, egysége a koszorzat és a kezdeti objektum .
Az R -Mod , az R kommutatív gyűrű feletti modulok kategóriája⊗ R tenzorszorzat és az R gyűrű(amit modulként értünk önmaga felett) azonosságként.
Az endofunktorok (önmagukba funkcionálók) kategóriája a C kategóriában szigorú monoid kategória, amelynek termékművelete a funktor összetétel.

Lásd még

Jegyzetek

Kelly, G. Max (1964). "A természetes asszociativitások, kommutativitások stb. koherenciájának MacLane feltételeiről." —Journal of Algebra 1 , 397-402
Kelly, G. Max. A gazdagított kategóriaelmélet alapfogalmai . - Cambridge University Press , 1982. - (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
Mac Lane, Saunders (1963). "Természetes asszociativitás és kommutativitás". —Rice University Studies 49 , 28-46.
McLane S. 7. fejezet. Monoidok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .