Monoid funktor

A kategóriaelméletben a monoid funktorok a monoid kategóriák közötti funktorok , amelyek megőrzik a monoid szerkezetet, azaz a szorzást és az azonossági elemet.

Definíció

Legyen és legyen monoid kategóriák. Egy monoidális funktor tól -ig egy funktorból , egy természetes átalakulásból áll $({\mathcal {C)),\otimes ,I_{\mathcal {C)))$ $({\mathcal {D)),\bullet ,I_{\mathcal {D)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

és morfizmus

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

szerkezeti morfizmusoknak nevezzük úgy, hogy bármely , esetén diagramokká $A$ $B$ $C$ ${\mathcal C}$

és

kategóriában kommutatívak . Itt a szabványos jelölést használjuk a kategóriák monoidális szerkezetére és . ${\mathcal D}$ $\alpha ,\rho ,\lambda$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$

Az erősen monoid funktor olyan monoid funktor, amelyben a szerkezeti morfizmusok invertálhatók. $\phi _{A,B},\phi$

A szigorúan monoid funktor olyan monoid funktor, amelynek szerkezeti morfizmusai azonosak.

Példa

Feledékeny funktor az Abel-csoportok kategóriájától a halmazok kategóriájáig. Itt a szerkezeti morfizmus a standard leképezés által kiváltott szurjekció ; A leképezés a szingulett * 1-re fordítja. $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ $A\times B\to A\otimes B\to$ $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$

Jegyzetek

Kelly, G. Max (1974), "Doktrinális kiegészítés", Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280