Termék (kategóriaelmélet)

Két vagy több objektum szorzata olyan fogalmak általánosítása a kategóriaelméletben, mint a halmazok derékszögű szorzata , a csoportok közvetlen szorzata és a topológiai terek szorzata . Az objektumok családjának terméke bizonyos értelemben a legáltalánosabb objektum, amely a család összes objektumával rendelkezik morfizmusokkal .

Definíció

Legyen a kategória (nem feltétlenül különálló) objektumainak indexelt családja . Egy kategóriaobjektum a morfizmusok családjával együtt egy objektumcsalád szorzata, ha bármely objektumhoz vagy morfizmuscsaládhoz létezik olyan egyedi morfizmus , amelyre a következő diagram: $\{X_i\}_{i \in I}$ $C$ $x$ $C$ $\pi_i\kettőspont X \az X_i$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\C-ben$ $f_i\kettőspont\, Y \az X_i$ $f\kettőspont\, Y\-től X-ig$

mindegyikre kommutatív (azaz ). A morfizmusokat kanonikus vetületeknek nevezzük . $i\in I$ $\pi_i \circ f = f_i$ $\pi _{i}$

A fenti definíció egyenértékű a következővel:

Egy objektum a vetületek családjával együtt akkor és csak akkor egy objektumcsalád terméke, ha bármely objektumra a leképezés $x$ $\{\pi_i\}_{i \in I}$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\C-ben$

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

bijektíven .

Két objektum szorzatát általában jelöli , és a diagram alakját veszi fel $X_1 \szer X_2$

A morfizmust néha jelöli . $f$ $\lang f_1,f_2 \rang$

A művelet eredményének egyedisége alternatív módon kifejezhető bármelyikre igaz egyenlőségként . [egy] $\lang -,- \rang$ $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$ $h$

Példák

A készletek kategóriájában a kategóriatermék megegyezik a derékszögű termékkel .
A topológiai terek kategóriájában a terek szorzata az a tér, amelynek támasza a faktorok támaszainak derékszögű szorzata, a topológia pedig a topológiáik szorzata .
A csoportok kategóriájában a csoportok szorzata a közvetlen termékük .
A projektív fajták kategóriájában a kategorikus szorzat a Segre beágyazás segítségével határozható meg .
A részben rendezett halmazt olyan kategóriának tekinthetjük, amelyben akkor és csak akkor létezik tól-ig morfizmus, ha (definíció szerint) amikor (sőt, két objektum között nem lehet egynél több morfizmus). Ebben az esetben a lineárisan rendezett objektumok családjának szorzata a legnagyobb alsó korlátjuk, a koszorzat pedig a legkisebb felső korlátjuk. $a$ $b$ $a\geqslant b$

Tulajdonságok

Ha létezik objektumok szorzata, akkor az egy izomorfizmusig egyedi .
Kommutativitás : $a \szer b \simeq b \szer a.$
Aszociativitás : $(a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)$
Ha van terminálobjektum a kategóriában , akkor $\ egy$ $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
A fenti tulajdonságok formailag hasonlóak a kommutatív monoid tulajdonságaihoz . Pontosabban, az a kategória, amelyben bármely két objektum szorzata meg van határozva, és van egy terminális objektum, szimmetrikus monoid kategória .

Distributivitás

Általánosságban elmondható, hogy létezik egy kanonikus morfizmus, ahol a plusz az objektumok együtttermékét jelöli. Ez a kanonikus vetületek és beágyazások létezéséből, valamint a következő diagram kommutativitásából következik: $X\x Y+X\x Z\-X\x (Y+Z)$

A for egyetemességi tulajdonsága garantálja a szükséges morfizmus meglétét. Egy kategóriát disztributívnak nevezünk, ha ez a morfizmus izomorfizmus . $X\-szer (Y+Z)$

Transzformációs mátrix

Bármilyen morfizmus

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

morfizmusok halmazát generálja

f_{ij} \colon a_i \to b_j

szabály által adott és transzformációs mátrixnak nevezett . Ezzel szemben bármely transzformációs mátrix egy egyedi, megfelelő morfizmust határoz meg . Ha a kategóriában nullobjektum van, akkor bármely két objektumhoz létezik egy kanonikus nullmorfizmus : Ebben az esetben a szabály által megadott transzformációs mátrix $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ $0,$ $x,y$ $0_{xy}:x\–0\–y.$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i$

f_{ij} = \left\{ \begin{mátrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{mátrix} \jobbra.

identitásmátrixnak nevezzük .

Példa

A véges dimenziós vektorterek kategóriájában a terek együttszorzata megegyezik a szorzatukkal, és a direkt összegük . Ebben az esetben a transzformációs mátrix kategorikus és szokásos definíciója egybeesik, hiszen bármely véges dimenziós tér felbontható az egydimenziósok közvetlen összegére, valamint az egydimenziósak közvetlen szorzatára. A különbség az, hogy a kategorikus definícióban a mátrixelemek egy egydimenziós tér egydimenziós térré alakításai, míg a szokásos definícióban ezekben az egydimenziós terekben bázisokat választanak, és csak a kép koordinátáját. a képtér bázisában lévő előképtér bázisvektora megadható. $\mathcal{V}ect_f$

Lásd még

A társtermék a termékkel kettős fogalom .
Descartes zárt kategória

Jegyzetek

↑ Lambek J., Scott PJ Bevezetés a magasabb rendű kategorikus logikába. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.

Irodalom

Bucur I., Deleanu A. Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe = Introduction to the theory of categpries and functors. - M .: Mir , 1972. - S. 39. - 259 p.
McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikus számára. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].
Zharinov VV Néhány algebro-geometriai módszer a matematikai fizikában . - S. 8. - 82 p.