Nulla morfizmus

A kategóriaelméletben a nullmorfizmus  olyan morfizmus , amely a lineáris leképezések tulajdonságait nullára általánosítja .

Definíció

Legyen C  egy kategória, f  : X → Y  pedig C morfizmusa . f -et konstans morfizmusnak nevezzük , ha bármely C -beli W objektumra és bármely g , h  : W → X , fg = fh esetén . Ennek megfelelően f -et kokonstans morfizmusnak nevezzük , ha bármely Z és bármely g objektumra h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . A nullmorfizmus  egy olyan morfizmus, amely állandó és együttállandó.

A nulla morfizmusú  kategória egy olyan kategória, amelyben bármely két A és B objektumhoz egy 0 AB  : A → B morfizmus van rögzítve úgy, hogy bármely X , Y , Z objektumra C -ben és bármely f  : Y → Z , g morfizmusra  : X → Y a következő diagram kommutatív:

Ekkor a 0 XY morfizmusok szükségszerűen nullák. Ha C  nulla morfizmusú kategória, akkor 0 XY egyedileg meghatározott.

Példák

• A csoportok (vagy modulok ) kategóriájában a nullmorfizmus az f  : G → H homomorfizmus , amely G minden elemét H semleges elemére képezi le . a csoportok kategóriájában a null objektum a triviális csoport 1 = {1}. Minden nullmorfizmus átsöpör 1 -en , azaz f  : G → 1 → H .

• Általánosabban fogalmazva, legyen C  egy 0 nullobjektumú kategória . Ekkor bármely két X és Y objektumra van egy egyedi morfizmussorozat

• Ha C  egy preadditív kategória , akkor a Mor( X , Y ) morfizmushalmazok mindegyike egy Abel-csoport , és nulla eleme van. Ezek a nulla elemek nulla morfizmusok családját alkotják, így C nulla morfizmusú kategória.

• A halmazok kategóriájának nincs null objektuma, de van egy kezdeti objektuma , az üres halmaz ∅. A halmazban csak a ∅  → X alakú függvények szerepelnek .

Irodalom

• Pareigis, Bodo 1.7 . szakasza. Kategóriák és funktorok  (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Tiszta és alkalmazott matematika). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Kategóriaelmélet  (határozatlan) . – Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973 .