Kategória objektum

Kategóriaobjektum - a kategóriaelmélet alapvető, meghatározatlan fogalma , egy kategória elemeinek megjelölésére szolgál, amelyek lehetnek matematikai objektumok , amelyeket egy adott kategória halmazba egyesít - ezek lehetnek például halmazok (halmazok kategóriájának objektumai ). ), egy bizonyos osztály algebrai rendszerei (például a gyűrűk a gyűrűk kategóriájába tartozó objektumok ), topológiai terek ( a topológiai terek kategóriájának objektumai ), sémák ( a sémák kategóriájának objektumai ).

Az objektumok osztályán kívül minden kategória a morfizmusok egy osztályából is áll – az objektumok transzformációinak gyűjteményeiből; ugyanakkor az egyik kategória morfizmusai egy másik objektumnak tekinthetők, vagy fordítva, vagyis egy kategória összetevőinek tárgyakra és morfizmusokra való felosztásának csak egy rögzített kategórián belül van értelme.

Egy adott kategória esetében az objektumok osztályát általában jelöli . Minden objektum egyetlen egységmorfizmusnak felel meg , ráadásul egyedülálló ebben a kategóriában, vagyis a különböző objektumok egységmorfizmusai nem eshetnek egybe. Ennek a ténynek köszönhetően lehetséges a kategória fogalmának meghatározása anélkül, hogy objektumok bevezetéséhez folyamodnánk, de csak morfizmusok segítségével. Ezenkívül a magasabb kategóriák elméletének konstrukcióiban az objektumokat "0-morfizmusoknak", tárgymorfizmusoknak (a szokásos értelemben vett morfizmusoknak) - "1-morfizmusoknak", a morfizmusok morfizmusainak - "2-morfizmusoknak" nevezik és így. rá, ezzel is hangsúlyozva a tárgyak általánosságát és átalakulásaikat egy kategorikus nyelven. A kategóriaobjektum fogalma azonban alkalmas a megfelelő típusú elemek leírására, ezért szinte mindig használják. ${\mathcal C}$ $Ob_{{\mathcal C}}$ $A\in Ob_{{\mathcal C}}$ $1_{A}\kettőspont A\-tól A-ig$

Bizonyos típusú objektumok

Egy objektumot univerzális vonzó (terminális) objektumnak nevezünk , ha bármely objektumnak egyedi morfizmusa van . $P\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P$
Egy objektumot univerzális taszító (kezdeti, kezdeti) objektumnak nevezünk , ha bármely objektumnak egyedi morfizmusa van . $R\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A$
Egy objektumot nullának nevezünk, ha egyszerre vonzó és taszító. $R\in Ob\,{\mathcal C}$

Irodalom

McLane S. 1. fejezet. Kategóriák, funktorok és természetes transzformációk // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .