Objektum indítása

(átirányítva a " Kezdeti és terminális objektumokból ")

A kezdeti objektum ( taszító objektum , kezdeti objektum ) egy olyan kategóriaobjektum , amely minden objektumnak egyedi morfizmusa van . $én$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $I\to X$

A kettős fogalom egy terminális objektum ( attractive object ): az objektum akkor terminális, ha bármely objektumnak van egyedi morfizmusa . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $X\to T$

Ha egy objektum kezdeti és terminális is, akkor nullobjektumnak nevezzük .

Az üres halmaz az egyetlen kezdeti objektum a halmazok kategóriájában , az egyhangú halmazok ( singletons ) terminális objektumok, nincsenek null objektumok. A megjelölt ponthalmazok kategóriájában a szingutonok nullobjektumok, csakúgy, mint a megjelölt pont topológiai terek kategóriájában.

A kezdeti és a terminális objektumok egyetlen kategóriában sem léteznek, de ha léteznek, akkor egyedileg definiáltak: ha és kezdeti objektumok, izomorfizmus van közöttük és az egyetlen. $I_1$ $én_{2}$

A terminálobjektumok az üres diagram határértékei , vagyis az üres termékek . Hasonlóképpen, a kezdeti objektumok kolimitok és üres társtermékek. Ebből az következik, hogy a határértékeket megőrző (colimits) funktor megőrzi a terminális (kezdeti) objektumokat, ill. $\varnothing \to {\mathcal {C))$

Példák

A csoportok kategóriájában éppúgy, mint az Abel-csoportok, a gyűrű feletti modulok és a vektorterek kategóriájában van egy nullobjektum (amivel kapcsolatban megjelent a „null object” kifejezés).

A gyűrűk kategóriájában az egész számok gyűrűje a kezdeti objektum, a nullgyűrű c pedig a végobjektum. A mező kategóriában nincsenek kezdő és záró elemek . A jellemző mezőinek teljes alkategóriájában azonban van egy kezdeti objektum - az elemek mezője. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $p$ $p$

Az összes kis kategória kategóriájában (a funkcionális morfizmusokkal) a kezdeti objektum az üres kategória, a végobjektum pedig az egyetlen objektumot és morfizmust tartalmazó kategória. ${\mathbf 1}$

Bármely topológiai teret tekinthetünk olyan kategóriának, amelynek objektumai nyílt halmazok, és bármely két nyitott halmaz között , így van egy egyedi morfizmus. Az üres halmaz ennek a kategóriának a kezdeti objektuma, a terminál. Egy topológiai tér ilyen kategóriájához és egy tetszőleges kis kategóriához az összes kontravariáns tól - ig természetes transzformációkkal rendelkező függvény egy kategóriát alkot, amelyet a becsavarások kategóriájának neveznek az együtthatókkal . Ha van egy kezdeti objektuma , akkor a konstans függvény leképezése a presheaves kategóriájának kezdeti objektuma, a kettős állítás is igaz. $x$ $U\subset V$ $x$ $x$ ${\mathcal C}$ $x$ ${\mathcal C}$ $x$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $c$ $x$ $c$

Az áramkörök kategóriájában a spektrum a terminálobjektum, és az üres áramkör a kezdeti objektum. $\mathbf {Spec} (Z)$

A kezdeti és végobjektumok univerzális nyilakkal és adjunktív függvényekkel is jellemezhetők . Egyetlen objektumot és (egyetlen) függvényt tartalmazó kategória esetén a kategória kezdeti objektuma az univerzális nyíl tól -ig . A címre küldő funktor a bal oldali adjunktja . Ennek megfelelően a kategória terminális objektuma az univerzális nyíl -tól -ig , és a -hoz küldő funktor a megfelelő adjungintja -nak . Ezzel szemben egy általános nyíl -tól egy függvényig definiálható kezdeti objektumként a vessző kategóriában . Kettősen egy univerzális morfizmus -tól -ig terminális objektum a -ban . ${\mathbf 1}$ $\golyó$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $én$ ${\mathcal C}$ $\golyó$ $U$ $\golyó$ $én$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\golyó$ $\golyó$ $én$ $U$ $x$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $x$ $(U\downarrow X)$

Irodalom

McLane S. 1. fejezet. Kategóriák, funktorok és természetes transzformációk // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .