Vessző kategória

A kategóriaelméletben a vessző kategóriája egy speciális konstrukció, amely lehetőséget ad a morfizmusok nem a kategóriaobjektumok egymással való korrelációiként, hanem független objektumokként való tanulmányozására. A "vesszőkategória" elnevezés az eredeti ( Lover által kitalált ) megjelölésből származik, amely vesszőjelet is tartalmazott. Ezt követően a szabványos megnevezés kényelmi okokból megváltozott.

Definíció

Általános eset

Legyen és legyen kategóriák , és legyen és legyen funkcionátor ${\mathcal {A},{\mathcal {B}}$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $T$

{\mathcal A}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal C}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal B}

Egy vessző kategória a következőképpen állítható fel: $(S\downarrow T)$

Az objektumok mind hármas alakjai , ahol egy objektum , egy objektum , és egy morfizmusa a -hoz . $(\alpha ,\beta ,f)$ $\alpha$ $\mathcal{A}$ $\beta$ ${\mathcal {B}}$ $f:S(\alpha )\jobbra T(\beta )$ ${\mathcal {C}}$
A -tól -ig morfizmusok mindegyike pár , ahol , morfizmusok - és -be , így a következő diagram ingázik : $(\alpha ,\beta ,f)$ $(\alpha ',\beta ',f')$ $(g,h)$ $g:\alpha \jobbra \alpha '$ $h:\beta \jobbra \beta '$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)))&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T( \beta )&{\xjobbra nyíl[ {T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{mátrix}}$

A morfizmusok összetételét úgy tekintjük, mintha az utolsó kifejezés lenne definiálva. Egy objektum azonosságmorfizmusa . $(g,h)\circ (g',h')$ $(g\circ g',h\circ h')$ $(\alpha ,\beta ,f)$ $({\mathrm {id}}_{{\alpha }},{\mathrm {id}}_{{\beta }})$

Két speciális eset

Vegyünk két speciális esetet, amelyek egyszerűbbek és nagyon gyakran előfordulnak.

Az első eset a feletti objektumok kategóriája $A$ . Legyen az előző definícióban az azonosságfüggvény és (kategória egy objektummal és egy morfizmussal). Majd a kategória valamely tárgyához . Ebben az esetben a jelölést használjuk . A nézetobjektumok egyszerűen párok , ahol . Néha ebben a helyzetben jelölik őket . A től- ig morfizmus olyan morfizmus , amely a következő diagramot kommutatívra zárja: ${\mathcal A}={\mathcal {C}}$ $S$ ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ $*$ $T(*)=A$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $({\mathcal {C}}\downarrow A)$ $(\alpha ,*,f)$ $(\alpha ,f)$ $f:\alpha \jobbra nyíl A$ $f$ $\pi _{\alpha }$ $(B,\pi _{B})$ $(B',\pi _{{B'}})$ $g:B\jobbra nyíl B'$

A kettős eset a alatti objektumok kategóriája $A$ . Itt van az 1 függvénye, és ez az identitásfüggvény. Ebben az esetben a jelölést használjuk , ahol az az objektum , amely a -re van leképezve . Az objektumok párok , ahol . A és közötti morfizmus egy olyan leképezés , amely a következő diagramot kommutatívra zárja: $S$ $T$ $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $(B,i_{B})$ $i_{B}:A\jobbra nyíl B$ $(B,i_{B})$ $(B',i_{{B'}})$ $h:B\jobbra nyíl B'$

A nyilak kategóriája

Egy másik speciális eset az, amikor és azonos funktorok (so ). Ebben az esetben a vessző kategóriáját nyilak kategóriájának nevezzük . Objektumai morfizmusok , morfizmusai pedig kommutatív négyzetek -ben . [egy] $S$ $T$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\jobbra }$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Tulajdonságok

Bármely nyilak kategóriájához két feledékeny függvény van meghatározva:

Egy preimage funktor , amely leképezi: $S\downarrow T\to {\mathcal A}$
- tárgyak: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$
- morfizmusok: ; $(g,h)\mapsto g$
A kép funktor, , amely leképezi: $S\downarrow T\to {\mathcal B}$
- tárgyak: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$
- morfizmusok: . $(g,h)\mapsto h$

Példák

A pontozott halmaz kategória a vessző kategória , ahol egy funktor néhány szingliót választ , és az identitásfüggvény a halmazkategóriában . Hasonló módon képezhető a ponttal jelölt topológiai terek kategóriája . $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Set)))}$ $\scriptstyle {\bullet}$ $\scriptstyle {{\mathbf {Set}}}$ $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Top}})}$
A grafikonok kategóriája a vessző kategóriája , ahol egy funktor, amely a címre küld . A nézetobjektumok két halmazból és egy függvényből állnak; az élek indexelő halmaza , csúcsok halmaza, majd mindegyikhez kiválaszt egy elempárt , azaz kiválaszt egy bizonyos élt a lehetséges élek halmazából . Az ebbe a kategóriába tartozó morfizmusok az indexhalmaz és a csúcshalmaz függvényei, így az adott élnek megfelelő csúcsok képei megfelelnek annak képének. $\scriptstyle {({\mathbf {Set}}\downarrow D)}$ $\scriptstyle {D:{\mathbf {Set}}\rightarrow {\mathbf {Set}}}$ $s$ $s\time s$ $(a,b,f)$ $a$ $b$ $f:a\jobbra nyíl (b\szer b)$ $b$ $a$ $f$ $b\szer b$

Párosítások

A és akkor és csak akkor konjugált , ha a vessző és a kategóriák izomorfak, és az ekvivalens elemek ugyanarra az elemre vetülnek . Ez lehetővé teszi az adjungált funktorok leírását halmazok használata nélkül, és ez volt a fő oka a vesszőkategória-konstrukciónak. $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ $(F\downarrow id_{\mathcal {D)))$ $(id_{{\mathcal {C}}}\downarrow G)$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$

Természetes átalakulások

Ha a képek egybeesnek, akkor a c morfizmust meghatározó diagram egybeesik a természetes átalakulást meghatározó diagrammal . A különbség a két definíció között az, hogy a természetes átalakulás a forma morfizmusainak egy bizonyos osztálya , míg a vesszőkategóriába tartozó objektumok mind ilyen morfizmusok. A vessző kategóriába tartozó funktor kiválaszthat egy adott morfizmuscsaládot. Valójában a természetes transzformáció , ahol egy olyan funktornak felel meg, amely egy objektumot képez le, a morfizmusokat pedig -re . Ez egy bijekciót határoz meg a természetes transzformációk és a függvények között , amelyek mindkét felejtős függvény bal inverzei . $UTCA$ $S\downarrow T$ $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ $S\to T$ $S(\alpha )\ - T(\alpha )$ $\eta :S\to T$ $S,T:{\mathcal A}\to {\mathcal C}$ ${\mathcal A}\to (S\downarrow T)$ $\alpha$ $(\alpha ,\alpha ,\eta_{\alpha })$ $g$ $(g,g)$ $S\to T$ ${\mathcal A}\to (S\downarrow T)$ $S\downarrow T$

Jegyzetek

↑ Adámek, Jiří; Horst Herrlich és George E. Strecker. Absztrakt és konkrét kategóriák (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Irodalom

S. McLane Kategóriák egy dolgozó matematikus számára, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .