Feledékeny funktor

A felejtő funkció ( an erasing functor ) egy kategóriaelméleti funktor , amely „elfelejti” az eredeti tartomány algebrai struktúráinak és tulajdonságainak egy részét vagy mindegyikét, azaz a további struktúrákkal és tulajdonságokkal felruházott tartományokat kevesebb megkötéssel kódomainekké fordítja.

A fogalomnak nincs szigorú definíciója, és az ilyen funktorok által előidézett transzformációk minőségi jellemzésére szolgál. Egy adott műveletkészlettel rendelkező algebrai struktúra esetében ezeket a transzformációkat aláírás redukcióként írhatjuk le , például a felejtő függvény az, amely a gyűrűk kategóriájából minden egyes gyűrűt társít a kategória ${\mathbf {Rng}}$ additív Abel-csoportjával, és a ${\mathbf {Ab))$ gyűrűhomomorfizmusokat veszi csoporthomomorfizmusok . Az aláírás kiüresedhet, vagyis az eredeti szerkezet hordozókészlete egy ilyen funktor kódtartományának bizonyul; ilyen funktorra példa a csoportok kategóriájából a csoportok ${\mathbf {Grp))$ elemeinek halmazaivá történő átalakulása a függvényből. kategória ${\mathbf {Set}}$ , amely a homomorfizmusokat halmazok „hétköznapi” leképezéseivé alakítja át. Mivel a matematikában sok konstrukciót kiegészítő szerkezetű halmazként írnak le, a gyakorlatban a legelterjedtebb példa a vivőhalmazba felejtő függvény; a feledékeny funktor halmazok kategóriájába való beépítésének lehetősége alapozza meg a konkrét kategória fontos fogalmát . Ezenkívül egy feledékeny funktor képes megőrizni a struktúrákat, ugyanakkor csökkenteni a tulajdonságokra vonatkozó korlátozásokat .

Példa

Példaként a kommutatív gyűrűk kategóriájából több feledékeny funktort is felhozhatunk. Az univerzális algebra nyelvén leírt kommutatív gyűrű egy < R , +, *, a , 0, 1 > halmaz, amely bizonyos axiómákat kielégít; itt + és * bináris műveletek az R halmazon , a egy unáris művelet (az ellentétes elemet összeadva veszik fel), 0 és 1 nulla műveletek azonos elemek összeadással és szorzással történő felvételére. Az egység eltávolítása egy feledékeny funkciónak felel meg az egység nélküli gyűrűk kategóriájába; a * és 1 eltávolítása az Abel-csoportok kategóriájába tartozó funktornak felel meg , amely minden gyűrűt összeadással társít a csoportjához. Sőt, a gyűrűk minden morfizmusához ugyanaz a funkció kapcsolódik , csak az Abel-csoportok morfizmusának tekintik. A teljes aláírás eltávolítása a készletek kategóriájában lévő funktornak felel meg.

Szerkezet és tulajdonságok törlése

Vannak bizonyos különbségek azon funktorok között, amelyek "elfelejtik a struktúrát" és azok között, amelyek "csak a tulajdonságokat felejtik el". Ha funktorok és "töröl" műveletek, akkor a tulajdonságokat elvesztő funktor példájaként az Abeli-csoportok kategóriájából a csoportok kategóriájába transzformációt adhatunk, amely elveszti a szorzás kommutativitásának axiómáját , de minden műveletet megtart. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\ to {\mathbf {Set}}$

A feledékeny funktorok szinte mindig egyértékűek . Például a konkrét kategóriákat olyan kategóriákként határozzuk meg, amelyek egy egyértékű függvényt engednek be a halmazok kategóriájába. Az axiómákat elfelejtő függvények mindig teljesen univalensek lesznek .

Bal oldali adjunkt funktor

A feledékeny funktorok gyakran hagytak konjugált funktorokat , amelyek szabad objektumokat hoznak létre . Például:

szabad modul : a (kategória -modules ) - ból származó elfelejtő függvénynek van egy bal oldali adjungintja, amely megfelel a halmaz leképezésének egy bázisú szabad modulba ; ${\mathbf {Mod}} (R)$ $R$ ${\mathbf {Set}}$ $\operátornév {ingyenes_{R}$ $X\mapsto \operatorname {Ingyenes_{R}(X)$ $x$ $R$ $x$
szabad csoport ;
tenzoralgebra .

Ebben az esetben a konjugálást a következőképpen értelmezzük: egy X halmazt és egy ráépített objektumot (például egy M modult ) véve a halmazok leképezései egyértelműen megfelelnek a modulok leképezéseinek . A vektorterek esetében ezt általában így szokták mondani: "a leképezést a bázisvektorok képei adják, és a bázisvektorok bárhová elküldhetők", ezt a tényt a képlet fejezi ki: $X\-nek M$ $\operátornév {Ingyenes }_{R}(X)\ to M$

\operátornév {Hom}_{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operátornév {Ingyenes }_{R}(X),M)=\operátornév {Hom}_{{{\mathbf { Beállítás}}}}(X,\operátornév {Forget}(M))

A mezők kategóriája egy példa egy olyan kategóriára, ahol a felejtő funktornak nincs adjunktja: nincs olyan mező, amely kielégíti az X halmaz szabad univerzális tulajdonságát .

Irodalom

McLane, Saunders . Categories for the Working Mathematician = Categories for the Working Mathematician. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 p. — ISBN 5-9921-0400-4 .