Ingyenes csoport

A szabad csoport a csoportelméletben olyan csoport , amelynek van egy részhalmaza úgy, hogy minden elemet egyedileg írunk fel véges számú elem és inverzeik szorzataként . (Az egyediséget olyan triviális kombinációkig értjük, mint pl . .) Azt mondják, hogy (szabadon) generálható és írható: vagy ha van elemek halmaza. $G$ $S\ részhalmaz G$ $G$ $S$ $st=su^{{-1}}ut$ $G$ $S$ $F_{S}$ $F_{n},$ $S$ $n$

Egy rokon, de más fogalom: egy szabad Abeli-csoport (ami általában nem szabad csoport).

Konstruktív meghatározás

Lehetőség van a szabad csoportok explicit konstrukciójának bemutatására, ezzel bizonyítva létezésüket [1] [2] . A halmaz elemeit "szimbólumnak" fogjuk tekinteni, és minden szimbólumhoz bevezetjük a szimbólumot ; ez utóbbiak halmazát jelöljük . Hadd $S$ $s$ $S$ $s^{{-1}}$ $S^{{-1}}$

T=S\csésze S^{{-1}}

Határozzuk meg az over szót a -ból származó (esetleg ismétlődő) karakterek véges láncolataként , amelyeket egymás után írnak le. Az összefűzés (ragasztás, attribúció) műveletével együtt az over szavak halmaza félcsoporttá válik . Feltételezzük, hogy a szavak halmazában van egy üres szó , amely nem tartalmaz szimbólumokat. Így a szavak monoidját kapjuk $S$ $T$ $S$ $\varepsilon$ $S.$

Például a . , két szó: $S=\{a,b,c\}$ $T=\{a,a^{{-1}},b,b^{{-1}},c,c^{{-1}}\}$

\alpha =abc^{{-1}}a,~~\beta =b^{{-1}}ba^{{-1}}

és összefűzésük:

\gamma =\alpha \beta =abc^{{-1}}ab^{{-1}}ba^{{-1}}

Például, . $\alpha \varepsilon =\alpha =abc^{{-1}}a$

Ezután bevezetjük a szócsökkentési szabályt. Ha valamelyik szóban a következő szimbólum (szimbólum) következik (megelőzi) a megfelelő szimbólumot, akkor ennek a jelpárnak az eltávolítását redukciónak nevezzük . Egy szót csökkentettnek nevezünk, ha már nem redukálható. A teljes redukció a redukció szekvenciális alkalmazása egy adott szóra, amíg az redukálódik. Például egy szóból (lásd a fenti példát) a teljes redukció után egy redukált szót kapunk: Ez a definíció helyes: könnyen kimutatható, hogy több redukció végrehajtásának eltérő sorrendje, amíg lehetséges, vezet egyetlen eredményre. $S$ $S^{{-1}},$ $\gamma$ $abc^{{-1}}.$

A halmaz által generált szabad csoport (vagy egy szabad csoport over ) redukált szavakból álló csoport az összefűzési művelettel (amit szükség esetén az eredmény teljes redukálásával követnek). $F_{S}$ $S$ $S$ $S$

Tulajdonságok

Az egyenlő teljesítményű halmazok által generált összes szabad csoport izomorf. Az adott szabad csoportot generáló halmaz számosságát rangjának nevezzük .
A szabad csoport izomorf egy ingyenes példányhoz . $F_{n}$ $n$ $\mathbb {Z}$
Nielsen-Schreier tétel : egy szabad csoport minden alcsoportja szabad.
Bármely csoport valamely szabad csoport faktorcsoportja egyes H alcsoportjaihoz képest . A generátorok . Aztán van egy természetes epimorfizmus . Ennek az epimorfizmusnak a H magja a hozzárendelési relációk halmaza . $G$ $F_{S}$ $S$ $G$ $f:\;F_{S}\ to G$ $G=\langle S,H\rangle$
Egy véges rangú szabad csoport kommutánsa végtelen rangú. Például egy két elem által generált szabad csoport kommutátora az összes kommutátor által generált szabad csoport . $F(a,b)$ $[a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0$

Általános tulajdonság

A szabad csoport bizonyos értelemben a halmaz által generált legáltalánosabb csoport . Ugyanis bármely csoporthoz és halmazok bármilyen leképezéséhez létezik egy egyedi csoporthomomorfizmus , amelyre a következő diagram kommutatív: $F_{S}$ $S.$ $G$ $f\kettőspont S\-be G$ $\varphi \colon F_{S}\ to G,$

Így egy az egyhez megfelelés van a leképezések és a homomorfizmusok halmazai között . Egy nem szabad csoport számára a csoporton belüli kapcsolatok korlátokat szabnának a csoport generáló elemeiről alkotott lehetséges imázsokra. $S\to G$ $F_{S}\-nek G$

Ez a tulajdonság felfogható egy szabad csoport definíciójának [3] , míg csak az izomorfizmusig definiálható , mint minden univerzális objektum . Ezt a tulajdonságot a szabad csoportok univerzalitásának nevezzük . A generáló halmazt a csoport alapjának nevezzük . Ugyanazon szabad csoportnak különböző alapjai lehetnek. $S$ $F_{s}$

A szabad csoport kategóriaelméleti szempontból egy funktor a halmazok kategóriájából ${\mathbf {Set}}$ a csoportok kategóriájába ${\mathbf {Grp))$ , amely a felejtő funktor bal adjunktja . ${\mathbf {Grp}}\ to {\mathbf {Set}}$

Jegyzetek

↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorikus csoportelmélet . - M . : Mir, 1980. - S. 13 .
↑ Fejezet 5, 14. § // A csoportelmélet alapjai / Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. - 3. kiadás - M. : Nauka, 1982. - 288 p.
↑ McLane S. Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Irodalom

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . fejezet II. Csoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .