Ingyenes modul

A szabad modul  egy F modul egy R gyűrűn (amelyet általában egy identitáselemhez asszociatívnak tekintünk), ha az nulla, vagy van alapja , azaz e 1 ,…e i elemekből álló nem üres S rendszer. … , amely lineárisan független és F -et generál . Magának az R gyűrűnek , amelyet bal oldali modulnak tekintünk önmagával szemben, nyilvánvalóan van egy bázisa, amely a gyűrű egy azonossági eleméből áll, és minden n elemből álló véges bázisú modul izomorf az R n közvetlen összegével . az R gyűrűket moduloknak tekintjük.

Fontos megjegyezni, hogy bizonyos esetekben egy szabad modulnak két véges bázisa lehet, amelyek különböző számú elemből állnak. Mivel ebben az esetben az M modul izomorf lesz mind R m -re, mind R n -re , ahol m≠n , akkor ez az eset akkor és csak akkor lehetséges, ha az R gyűrű felett létezik m×n méretű A és n méretű B mátrix . ×m , így AB=I m és BA=I n , ahol I m és I n  egységnégyzetmátrixok. Nyilvánvaló, hogy abban az esetben, ha az R gyűrű homomorfizmust enged be egy osztásgyűrűbe (ez így lesz pl. kommutatív gyűrűk esetén), ez a helyzet a mátrix rangtulajdonsága miatt lehetetlen. Ebben az esetben az alap elemeinek számát az R gyűrű rangjának nevezzük , és R vagy rk R rangtal jelöljük . Vektortér esetén a tér rangja a dimenziója.

Ha egy modulnak végtelen bázisa van, akkor minden ilyen bázis egyenértékű.

Mivel bármely Abeli-csoport a Z egész számok gyűrűje feletti modul , a fentiek mindegyike vonatkozik a szabad Abeli-csoportokra is.

Általános tulajdonság

Egy modul szabad tulajdonsága kategóriaelméletben fejezhető ki . A szabad modulok közötti lineáris függvényt annak értékei egyedileg határozzák meg a bázison , fordítva, az alapján meghatározott tetszőleges függvényt ki lehet terjeszteni egy lineáris függvényre. A bázis ezen tulajdonságai az univerzális tulajdonság segítségével formalizálhatók .

Minden R gyűrűn lévő modul hozzárendelhető a támaszkészletéhez: van egy felejtős F  : R-Mod → Set függvény . Legyen A  valamilyen R -modul; i: X → F(A)  egy halmazok közötti függvény. Azt mondjuk, hogy A  egy szabad modul i ( X ) vektorbázissal, akkor és csak akkor, ha bármely leképezéshez létezik olyan egyedi lineáris leképezés , amelyre .

Általánosítások

Néhány szabad modullal kapcsolatos tétel igaz marad a gyűrűk szélesebb osztályaira is. A projektív modul  pontosan egy szabad modul közvetlen összegzése , ezért egy projektív modulra vonatkozó állítás bizonyításához megfontolhatjuk annak szabad modulba való beágyazását és alapot használhatunk. Még távolabbi általánosítások a lapos modulok , amelyek a végesen generált szabad modulok közvetlen korlátjaként ábrázolhatók , és a torziómentes modulok .

Irodalom