Hiperszféra

A hiperszféra ( más görög szóból ὑπερ- „ szuper- ” + σφαῖρα „labda”) egy hiperfelületi dimenziós euklideszi tér , amelyet egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok alkotnak, amelyeket a gömb középpontjának neveznek . $n$

-nél a hiperszféra a középponttól egyenlő távolságra lévő két pontra degenerálódik ; $n=1$
amikor ez egy kör ; $n=2$
amikor egy hiperszféra gömb . $n=3$
amikor a hiperszféra 3-gömb . $n=4$
amikor a hiperszféra 4-gömb . $n=5$

…

amikor a hiperszféra 7-es gömb . A 7-gömb figyelemre méltó, hogy ez a dimenzió az első, amelyben léteznek egzotikus szférák , vagyis olyan sokaságok, amelyek homeomorf a standard 7-gömbhöz, de nem diffeomorfok. $n=8$

A hiperszféra középpontja és a felszíne közötti távolságot a hiperszféra sugarának nevezzük . A hiperszféra egy -dimenziós részsokaság a -dimenziós térben , amelynek minden normálisa a középpontjában metszi egymást. $(n-1)$ $n$

Egyenletek

Egy pontban középpontban lévő sugarú hipergömböt a feltételt kielégítő pontok lokuszaként határozzuk meg : $R$ $a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Hiperszférikus koordináták

Mint tudják, a poláris koordináták leírása a következő:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

és gömbkoordináták, mint ez:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

Egy n-dimenziós golyó a következő hipergömbi koordinátákkal paraméterezhető :

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

\ldots

{\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1))

hol és . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac { \pi }{2}}\right]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Ennek az átalakulásnak a jakobiusa az

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Egy másik változatban

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

hol és . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

A jakobi ebben a formában az

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Terület és térfogat

A dimenziós euklideszi tér egy dimenziójú hipergömb számára , a felülete és az általa határolt térfogat (egy n-dimenziós golyó térfogata ) az [1] [2] képletekkel számítható ki : $n$ $n$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

ahol

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)))

a a gamma függvény . Ez a kifejezés más formában is megadható: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac {2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Itt van a kettős faktoriális . $n!!$

Mert

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

akkor a golyók térfogatai kielégítik az ismétlődő összefüggést

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

és felületük összefügg, mint

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

A következő táblázat azt mutatja, hogy az egységgömb és a golyó extrém térfogatot vesz fel a és a esetén. $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Egységnyi sugarú hipergömbök és hipergömbök területei és térfogatai

Dimenzió	1 (hossz)	2 (terület)	3 (kötet)	négy	5	6	7	nyolc
egyetlen gömb ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Decimális rekord	6.2832	12,5664	19,7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Mértékegység labda ( ) $V_{n}$	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Decimális rekord	2.0000	3.1416	4.1888	4,9348	5.2638	5.1677	4,7248	4,0587

A táblázat "dimenziója" sora a geometriai alakzat felületének méretét tartalmazza, nem pedig annak a térnek a méretét, amelyben az található. Egy -dimenziós golyó esetében a "térfogat" dimenziója is , a "területének" pedig . $n$ $n$ $n-1$

Megjegyzendő, hogy a -dimenziós gömb térfogatának aránya a körülötte körülírt -kocka térfogatához képest gyorsan csökken a növekedéssel , gyorsabban, mint . $n$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $n$ $2^{n}R^{n}$ $n$ ${\displaystyle 2^{-n))$

A hiperszféra topológiája

Ebben a részben gömb alatt n-dimenziós hipergömböt, golyón n-dimenziós hipergömböt értünk , azaz , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

A gömb homeomorf a golyó határa általi faktorizálására . $S_{n}$ $B_{{n}}$
A golyó homeomorf a faktorizációhoz . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\times [0,1])/(S_{{n-1}}\times \{1\})$
A gömb sejttér . A legegyszerűbb sejtbontás két sejtből áll, homeomorf és . Közvetlenül egy gömb konstrukciójából nyerhető, mint egy zárt golyó tényezőtere. A sejtpartíciót indukcióval is fel lehet építeni, az egyenlítő mentén két n-dimenziós cellára, homeomorfra és egy gömbre , amely a közös határuk. $B_{0}={\mathrm {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Jegyzetek

↑ Vinogradov I. M. Matematikai enciklopédia. — M .: Nauka, 1977, — 5. v., p. 287, "Gömb" cikk - egy n-dimenziós gömb térfogatának képlete
↑ L. A. Makszimov, A. V. Mikhenkov, I. Ya. Polishchuk. Statisztikai fizika előadásai. Dolgoprudny, 2011. - p. 35, egy n-dimenziós gömb térfogatának képletének levezetése az Euler-Poisson-Gauss integrálon keresztül

Lásd még

Linkek

Hiperszféra (amatőr projekt). 4D hiperszféra és meridián közelítés modellező programok archiválva 2008. január 19-én a Wayback Machine -nél
Hypersphere Imagination Trainer: Rubik-kocka 4 vagy több dimenzióban Archiválva : 2018. január 25. a Wayback Machine -nél

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika