Egzotikus Orb

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az egzotikus gömb egy sima M sokaság , amely homeomorf , de nem diffeomorf a standard n -gömbhöz képest .

Történelem

Az egzotikus szférák első példányait John Milnor építette a 7-es dimenzióban; bebizonyította, hogy legalább 7 különálló sima szerkezet létezik. Ma már ismert, hogy az orientálton 28 különböző sima szerkezet található (15 az orientáció figyelembevétele nélkül). $S^{7}$ $S^{7}$

Ezeket a példákat, az úgynevezett Milnor-gömböket az űrkötegek között találták meg . Az ilyen kötegeket két egész szám és az elem osztályozza . Néhány ilyen köteg homeomorf a standard gömbhöz, de nem diffeomorf ahhoz. $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $a$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ ${\displaystyle M_{a,b))$

Mivel egyszerűen össze vannak kötve, az általánosított Poincare-sejtés szerint a homeomorfizmus ellenőrzése és a homológia számlálása redukálódik ; ez a feltétel bizonyos feltételeket támaszt a és -ra . ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle M_{a,b))$ $S^{7}$ ${\displaystyle M_{a,b))$ $a$ $b$

A nem-diffeomorfizmus bizonyítása során Milnor ellentmondásokkal érvel . Észreveszi, hogy az elosztó egy 8-dimenziós elosztó határa – a lemezköteg feletti terület . Továbbá, ha különbözik a standard gömbtől, akkor golyóval ragasztható, így zárt, sima 8-as elosztót kapunk. A kapott sokaság aláírásának kiszámítása a Pontrjagin-számok alapján ellentmondáshoz vezet. ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle W_{a,b))$ ${\displaystyle D^{4))$ ${\displaystyle S^{4))$ ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle W_{a,b))$

Osztályozás

Két egzotikus n -dimenziós gömb összefüggő összege is egzotikus gömb. Az összefüggő összegművelet egy orientált n - dimenziós gömbön lévő különféle sima szerkezeteket monoiddá alakítja , az úgynevezett egzotikus gömböket monoiddá .

n ≠ 4

Ismeretes ugyanis, hogy az egzotikus szférák monoidja egy abeli csoport , az úgynevezett egzotikus szférák csoportja . $n\neq 4$

Ez a csoport triviális a számára . Vagyis ezekben a dimenziókban a standard szférára vonatkozó homeomorfizmus létezése magában foglalja a diffeomorfizmus létezését is . Mert , ez izomorf egy 28-as rendű ciklikus csoporthoz . Vagyis létezik olyan 7-dimenziós egzotikus gömb, hogy bármely 7-dimenziós egzotikus gömb diffeomorf a -nak több másolatának összefüggő összegével ; ráadásul a 28 példány összefüggő összege különbözik a standard gömbtől . $n=1,2,3,5,6$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n=7$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $S^{7}$

Az egzotikus gömbök csoportja izomorf a homotópia n -gömb orientált h -kobordizmus osztályainak Θ n csoportjával. Ez a csoport véges és Abel-féle.

A csoportnak van egy ciklikus alcsoportja $\Theta_n$

bP_{n+1}

a párhuzamosítható sokaságokat határoló -gömböknek megfelelő . $n$

Ha n páros , akkor a csoport triviális, $bP_{n+1}$
Ha , akkor a csoportnak 1-es vagy 2-es sorrendje van $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- 1-es sorrendje van, ha n = 1, 5, 13, 29 vagy 61.
- 2-es sorrendje van , ha ugyanakkor $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Ha , azaz , akkor amikor a sorrend egyenlő $n\equiv 3{\pmod {4}}$ $n+1=4m$ $m\geq 2$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

ahol a tört számlálója, a Bernoulli -számok . (Néha a képlet kissé eltér a Bernoulli-számok eltérő definíciói miatt.)

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2m}}

A faktorcsoportokat a gömbök stabil homotópiás csoportjaiként írjuk le, modulo egy J-homomorfizmus képét ). Pontosabban, van egy injektív homomorfizmus $\Theta _{n}/bP_{n+1}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

ahol a gömbök n- edik stabil homotópiája , és a J -homomorfizmus képe. Ez a homomorfizmus vagy izomorfizmus, vagy 2-es indexű képe. Ez utóbbi akkor és csak akkor következik be, ha létezik egy n - dimenziós párhuzamosítható sokaság a Kervaire-invariánssal 1. ${\displaystyle \pi _{n}^{S))$ $J$

Egy ilyen sokaság létezésének kérdését Kerver-problémának nevezik. 2012-től csak az esetre nem sikerült megoldani . Az 1-es Kervaire-invariánsú elosztókat a 2., 6., 14., 30. és 62. méretben állítottuk össze. $n=126$

n. méret	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17	tizennyolc	19	húsz
Rendelés Θn	egy	egy	egy	egy	egy	egy	28	2	nyolc	6	992	egy	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Rendelés bP n +1	egy	egy	egy	egy	egy	egy	28	egy	2	egy	992	egy	egy	egy	8128	egy	2	egy	261632	egy
Rend Θ n / bP n +1	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	2	2×2	6	egy	egy	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Rendelés π n S / J	egy	2	egy	egy	egy	2	egy	2	2×2	6	egy	egy	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Index	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

A táblázat további értékei kiszámíthatók a fenti információkból, valamint a stabil homotópia gömbcsoportok táblázatából.

Páratlan méretekben a gömböknek és csak ezeknek egyetlen sima szerkezetük van. Wang és Xu (2017 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$

n = 4

A dimenzióban gyakorlatilag semmit sem tudunk a sima gömbök monoidjáról, kivéve azt, hogy véges vagy megszámlálhatóan végtelen és Abel-féle. Nem ismert, hogy léteznek-e egzotikus sima struktúrák a 4-gömbön. Azt az állítást, hogy nem léteznek, „sima Poincaré-sejtésnek” nevezik. $n=4$

Az úgynevezett Gluck-csavarás abból áll, hogy kivágjuk az S 2 2 gömb csőszerű szomszédságát az S 4 -ben, és visszaillesztjük a határvonal diffeomorfizmusával . Az eredmény mindig S 4 -re homeomorf , de a legtöbb esetben nem tudni, hogy diffeomorf-e S 4 -gyel . $S^{2}\times S^{1}$

Twisted Spheres

Legyen adott egy diffeomorfizmus, amely megőrzi az orientációt. A golyó két példányát a határok közötti leképezés mentén felragasztva megkapjuk az úgynevezett diffeomorfizmussal zsúfolt gömböt . A csavart gömb homeomorf a standard gömbhöz, de általában véve nem diffeomorf vele. $f\colon S^{n-1}\ to S^{n-1}$ $f$ $f$

Más szavakkal, egy sokaságot csavart gömbnek nevezünk, ha pontosan két kritikus ponttal rendelkezik Morse-függvényre .

n ≠ 4 esetén bármely egzotikus gömb különbözik valamilyen csavart gömbtől.
n = 4 esetén bármely csavart gömb különbözik a standard gömbtől.

Lásd még

Linkek

Akbulut, Selman (2009), Cappell–Shaneson homotópia szférák szabványosak , arXiv : 0907.0136
Brieskorn, Egbert V. (1966), "Példák szinguláris normál komplex terekre, amelyek topológiai sokaságok", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR 47019 , PMC 224331 , PMID 16578636
Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Math. 2 (1): 1–14, doi : 10.1007/BF01403388 , MR 0206972
Browder, William (1969), "A keretes sokaságok Kervaire invariánsa és általánosítása", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR 1970686 , MR 0251736
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Az ember és a gép gondolkodása a sima 4-dimenziós Poincaré-sejtésről", Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5
Gluck, Herman (1962), "The embedding of two-spheres in the four-spheres", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR 1993581 , 6MR 6807014
Hirzebruch, Friedrich; Mayer , Karl Heinz ( 1968 .) _ _ _ _ _ komplex sokaságok szingularitásai .
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). "A homotópia szférák csoportjai: I" (PDF). Annals of Mathematics ( Princeton University Press ) , 77 (3): 504–537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . MR 0148075 . – Ez a cikk leírja a sima szerkezetek csoportjának szerkezetét az n - gömbön n >4 esetén. Sajnos a korábban bejelentett "Groups of Homotopy Spheres: II" című cikk soha nem jelent meg, de Levin előadási anyagai tartalmazzák azt, amit látszólag tartalmazhatott volna.
Levine, JP (1985), "Előadások a homotópiás gömbök csoportjairól", Algebrai és geometriai topológia , Lecture Notes in Mathematics 1126 , Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , MR 8757031
Milnor, John W. (1956), "A 7-sphere homeomorf sokrétűekről", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR 1969983 , MR 0082103
- J. Milnor. Hétdimenziós gömbhöz homeomorf sokaságon // Matematika . - 1957. - 3. sz . - S. 35-42 .
Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères" , Bulletin de la Société Mathématique de France 87 : 439–444, MR 0117744
Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structures on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR 2372998 , MR 0110107
Milnor, John (2000), "Classification of ( n − 1)-connected 2 n -dimenziós sokaság és az egzotikus szférák felfedezése", Cappell, Sylvain; Ranick, András; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: 1. kötet , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30., ISBN 9780691049380, MR 1747528
Milnor, John Willard (2009), "Fifty years ago: topology of manfolds in the 50's and 60's", in Mrowka, Tomasz S.; Ozsvath., Peter S., Alacsony dimenziós topológia. Előadásjegyzetek a 15. Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School-ból, amelyet Park Cityben, UT, 2006 nyarán tartottak. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15 , Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Milnor, John W. (2011), „Differenciális topológia negyvenhat évvel később” (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor gömb" (nem elérhető link) , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Wang, Guozhen & Xu, Zhouli (2017), The triviality of the 61-stem in the stabil homotopy group of sphere , Annals of Mathematics 186. kötet (2): 501–580 , DOI 10.4007/annals.2017.386 .

Külső linkek

Egzotikus gömbök a Manifold Atlason (lefelé mutató 2016-05-06 [2373 nap])
Egzotikus birodalmak. Egzotikus birodalmakhoz kapcsolódó forrásanyagok.
Animációk és valójában egzotikus 7 gömb – videó Niles Johnson előadásából a Második Abel Konferenciáról .
Gluck_konstrukció