Fraktál dimenzió

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A fraktáldimenzió ( angolul fractal dimension ) az egyik módja annak, hogy meghatározzuk egy halmaz dimenzióját egy metrikus térben . Egy n -dimenziós halmaz fraktáldimenziója a következő képlettel határozható meg:

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon )))

, ahol a halmaz lefedéséhez szükséges n -dimenziós sugarú "golyók" minimális száma .

N_\varepszilon

\varepsilon

A fraktáldimenzió nem egész számértéket vehet fel [2] .

A tört dimenzió alapötlete hosszú múltra tekint vissza a matematika területén, de magát a kifejezést Benoit Mandelbrot találta ki 1967-ben az önhasonlóságról szóló cikkében . amelyben leírta a „tört” ( eng. fractional ) dimenziót [3] . Ebben a cikkben Mandelbrot Lewis Fry Richardson korábbi munkájára hivatkozott , leírva azt az ellentétes gondolatot, hogy a partvonal mért hossza egy mérőpálca (pólus) hosszától függ ( lásd 1. ábra ). Ezt a felfogást követve a partvonal fraktáldimenziója a partvonal hosszának méréséhez szükséges pólusok számának (egy bizonyos léptékben) és az oszlop kiválasztott léptékének arányának felel meg [4] . A fraktáldimenziónak számos formális matematikai definíciója létezik, amelyek a léptékváltozással járó elem változásának ezen alapkoncepciójára épülnek.

Az egyik elemi példa a Koch-hópehely fraktáldimenziója . Topológiai mérete 1, de semmiképpen nem egyenirányítható görbe , mivel a Koch-hópehely bármely két pontja közötti görbe hossza végtelen . A görbének egyetlen tetszőleges kis része sem lehet vonalszakasz. Inkább a Koch-hópehely végtelen számú, különböző szögekben összekapcsolt szegmensből áll. A görbe fraktáldimenziója intuitív módon magyarázható, feltételezve, hogy egy fraktálvonal túl részletes (részletes) objektum ahhoz, hogy egydimenziós legyen, de nem elég összetett ahhoz, hogy kétdimenziós legyen [5] . Ezért a dimenzióját nem a szokásos 1-es topológiai dimenzió írja le jobban, hanem a fraktáldimenzió, amely ebben az esetben egy 1 és 2 közötti számmal egyenlő.

Bevezetés

A fraktáldimenzió a fraktálszerkezeteket vagy -halmazokat komplexitásuk mennyiségi értékelése alapján leíró együttható , mint léptékváltozással járó részletváltozási együttható [4] :1 . A fraktáldimenzió bizonyos típusai elméletileg és empirikusan is mérhetők ( lásd 2. ábra ) [7] [8] . A fraktáldimenziókat tárgyak széles körének jellemzésére használják az absztrakttól [9] [7] a gyakorlati jelenségekig, például: turbulencia, [4] :97–104 folyóhálózatok, :246–247 városnövekedés, [10] emberi fiziológia , [11] [12] az orvostudomány [8] és a piaci trendek [13] . A tört- vagy fraktáldimenzió alapötletematematikában nagy múltra tekint vissza, 1600-ig [4] :19 [14] , de magukat a fraktál és fraktáldimenzió kifejezéseket Benoit Mandelbrot matematikus alkotta meg 1975-ben [9 ] [4] [8] [13] [15] .

A fraktáldimenziót először geometriailag összetett alakzatokat leíró együtthatóként vezették be, amelyeknél a részletek fontosabbak, mint a teljes rajz [15] . A közönséges geometriai alakzatokat leíró halmazok esetében az elméleti fraktáldimenzió megegyezik a szokásos euklideszi vagy topológiai dimenzióval . Így a pontokat leíró halmazok esetében az elméleti fraktáldimenzió 0; 1 egyenest leíró halmazokhoz (csak hosszúságú halmazokhoz); 2 a felületet leíró készletekhez (hosszúsággal és szélességgel); 3 a térfogatot leíró készletekhez (hosszúságú, szélességű és magasságú készletek). De ez megváltozik a fraktálkészleteknél. Ha egy halmaz elméleti fraktáldimenziója meghaladja a topológiai dimenziót, akkor a halmazt fraktálgeometriájúnak tekintjük [16] .

A topológiai dimenzióval ellentétben a fraktál együttható nem egész értéket vehet fel [17] , ami azt mutatja, hogy a fraktálhalmaz a szokásos geometriai halmaztól eltérően tölti ki a teret [9] [18] [7] . Például egy olyan görbe, amelynek fraktáldimenziója nagyon közel van az 1-hez, mondjuk az 1,1-hez, egészen úgy viselkedik, mint egy szabályos vonal, de egy 1,9-es fraktáldimenziójú görbe a térben szinte felületszerűen tekercselődik. Hasonlóképpen viselkedik egy 2,1-es fraktáldimenziójú felület. Szinte úgy tölti ki a teret, mint egy normál felület, de a 2,9-es fraktáldimenziójú felület összeesik, és hajlamos majdnem térfogatként kitölteni a teret [16] :48 [1. jegyzet] . Ez az általános összefüggés a 2. ábrán látható 2 fraktál görbe képén látható . 2 és lásd a 2. ábrát. 3-32 szegmens, a 2. ábra körvonala bonyolult és teret kitöltő. Ennek a fraktálgörbének a dimenziója 1,67 a 3. ábrán látható kevésbé összetett Koch-görbéhez képest , amelynek fraktáldimenziója 1,26.

A növekvő fraktáldimenzió és a kitöltési tér kapcsolata felfogható a mért sűrűség fraktáldimenziójának, de nem az. Ez a két paraméter nincs szoros összefüggésben [6] . Ehelyett a fraktáldimenzió a komplexitást méri. Ez a fogalom a fraktálok bizonyos jellemzőihez kapcsolódik: önhasonlóság , mintázat és egyenetlenség [2. megjegyzés] . Ezeket a tulajdonságokat a fent leírt fraktálgörbék példáiban találjuk meg. Mindkét görbe topológiai dimenziója 1, ezért azt reméljük, hogy a normál vonalakhoz hasonlóan meg lehet mérni a hosszukat vagy a meredekségüket . De ezek közül egyiket sem tehetjük meg, mert a fraktálgörbék olyan összetett önhasonlóságokkal és mintázatokkal rendelkeznek, amelyekhez a szabályos vonalak nem [4] . Az önhasonlóság a végtelen skálában, a minta pedig az egyes halmazok meghatározó elemeiben rejlik. A görbék bármely két pontja közötti hossz nincs meghatározva , mert elméletileg ezek a konstrukciók soha nem állnak meg, hanem végtelen sokszor ismétlődnek [19] . Minden kisebb rész végtelen számú skálaszegmensből áll, amelyek pontosan úgy néznek ki, mint az első iterációban. Ezek nem egyenirányítható görbék , vagyis nem bonthatjuk külön szegmensekre és nem számíthatjuk ki a hozzávetőleges hosszt. Nem tudjuk leírni hosszban és lejtőn. Fraktál méretei azonban meghatározhatók. Megmutatják, hogyan töltik ki jobban a teret, mint a közönséges vonalak, de kevésbé, mint a felületek, és ez lehetővé teszi azok összehasonlítását is.

Megjegyzendő, hogy a fent leírt két fraktálgörbe egyfajta önhasonlóságot mutat, amely pontosan megismétli a kezdeti mintát, ami könnyen megjeleníthető. Ilyen szerkezetek más terekben is megtalálhatók (például fraktálok ). Ha a Koch-görbét háromdimenziós térré tágítjuk, akkor elméleti fraktáldimenziója 2,5849 lesz. A következő példa esetében azonban nehézséget okoz a fraktáldimenzió kiszámítása [7] [13] : Nagy-Britannia partvidéke egy közelítő modell hozzávetőleges léptékkel [4] :26 . Általánosságban elmondható, hogy a fraktálok különböző típusúak, önhasonlósági fokuk és nehezen elképzelhető minták lehetnek. Ide tartoznak például a furcsa attraktorok : sima pileup területek [16] :49 , Julia készlet és pulzusszám [20] . A fraktál komplexitást nem mindig könnyű kiszámítani anélkül, hogy olyan összetett analitikai módszerekre támaszkodnánk, amelyek még mindig fraktáldimenziókon keresztül vezetnek a válaszhoz [4] :197; 262 .

Történelem

A fraktáldimenzió és fraktál kifejezéseket Mandelbrot vezette be 1975-ben [15] , körülbelül 10 évvel azután, hogy publikálta az Egyesült Királyság partjainak önhasonlóságáról szóló tanulmányát. Mandelbrot a komplex elméleti matematikát és a mérnöki munkát a komplex geometria tanulmányozásának új módszerében ötvözte és alkalmazta. Ez kihívást jelentett a szokásos lineáris kifejezésekkel szemben [14] [21] [22] . A legkorábbi gyökereket, amelyeket Mandelbrot a "fraktálgeometria" fogalmában általánosított, egyértelműen a nem differenciálhatóságról, az önhasonló függvények végtelenségéről szóló írásokban vezettek vissza, amelyek fontosak a fraktálok matematikai meghatározásában. Ekkortájt (az 1600-as évek közepén) megjelent egy elemzés [4] :405 . Szünet következett be az ilyen funkciókról szóló közlemények kiadásában. Az 1800-as évek végétől kezdve, a ma kanonikus fraktáloknak nevezett matematikai függvények és halmazok létrehozásával (mint például von Koch azonos nevű művei , [19] Sierpinski , Julia ), megindult a megújulás ezen a területen. Ebben az időben megfogalmazásukat gyakran úgy tekintették, mint amely erősen ellentmondott a matematikai "szörnyeknek" [14] [22] . Ezeket a munkákat látszólag olyan felvetések kísérték, hogy Hausdorff munkásságán keresztül az 1900-as évek elején ők voltak a fraktálgeometria koncepciójának kidolgozásának legsarkalatosabb pillanatai . Hausdorff meghatározta a "törtdimenziót", amelyet ma az ő nevén neveznek, és gyakran használják a modern fraktálok meghatározásában [3] [4] :44 [16] [21] .

További részletekért lásd a fraktálok történetét .

A lépték szerepe

A fraktáldimenzió gondolata a lépték és a dimenzió nem szokványos ábrázolásában rejlik [23] . Ez látható az ábrán. A 4. ábra a geometria hagyományos fogalmait szemlélteti, amelyek kiszámíthatóan alkotják a léptéket, a térrel kapcsolatos érthető és ismert elképzelések szerint. Például vegyünk egy sort, osszuk három egyenlő részre, ekkor mindegyik rész 3-szor kisebb lesz, mint az eredeti sor hossza. Ez is a repülőben játszódik. Ha megméri egy négyzet területét, majd megméri egy olyan négyzet területét, amelynek oldalhossza a kezdeti négyzet oldalának 1⁄3 - a, akkor ez 9-szer kisebb lesz, mint a terület a kezdeti négyzetből. Ez a skála matematikailag meghatározható az 1. egyenlet skálaszabályával, ahol a részletek száma, a léptéktényező, a fraktáldimenzió: $N$ $\epsilon$ $D$

${N\propto \epsilon ^{-D))$

(egy)

A szimbólum arányt jelent. Ez a léptékszabály megerősíti a léptékgeometria hagyományos szabályait, hiszen egy egyenesre - =3, amikor = 1 ⁄ 3 , akkor =1, a négyzetekre pedig azért, mert =9, amikor = 1 ⁄ 3 , =2. $\propto$ $N$ $\epsilon$ $D$ $N$ $\epsilon$ $D$

Ugyanez a szabály vonatkozik a fraktálgeometriára is, de kevésbé intuitív módon. Egy egységnyi hosszúságú fraktálvonal kiszámításához első pillantásra 3-szoros faktorral kell lekicsinyíteni, ebben az esetben = 4, ha = 1⁄3 , és az értéket az 1. egyenlet átalakításával kaphatjuk meg: $N$ $\epsilon$ $D$

${\log _{\epsilon }{N}={-D}={\frac {\log {N}}{\log {\epsilon }}}}$

(2)

Így egy =4-gyel leírt fraktál esetén, ha = 1⁄3 , = 1,2619 . Ebben az esetben a dimenzió nem egész értéket vesz fel, ezért feltételezhető, hogy a fraktál mérete nem egyenlő annak a térnek a méretével, amelybe be van ágyazva [7] . Koch-görbe és a Koch- hópehely . Meg kell jegyezni, hogy ezek a képek önmagukban nem valódi fraktálok, mivel az érték által leírt léptékezés nem folytatódhat a végtelenségig azon egyszerű oknál fogva, hogy a képek csak a legkisebb ponton - a pixelben - léteznek. A digitális képet ábrázoló elméleti struktúra nem diszkrét pixeleket tartalmaz, mint darabokat, hanem végtelen számú, különböző szögű szegmensből áll, amelyek fraktáldimenziója 1,2619 [4] [23] . $N$ $\epsilon$ $D$ $D$

A dimenzió nem az egyetlen paraméter

A vonalra, négyzetre és kockára definiált dimenzióhoz hasonlóan a fraktáldimenziók is általános jellemzők, ami lehetetlenné teszi a szerkezet egyértelmű meghatározását [23] [24] . A Koch-fraktál értékét fentebb megadtuk, például a skála a mennyiségi struktúra velejárója, de ez nem elég a felépítéséhez. Sok fraktálstruktúra és mintázat rajzolható ugyanabban a léptékben, mint a Koch-görbe, de ezek továbbra is eltérnek a Koch-görbétől ( lásd 6. ábra ). $D$

Példák a fraktálokra: lásd: Fractal , Sierpinski-háromszög , Mandelbrot halmaz , Diffusion of limited aggregation , L-Systems .

Példák

A fraktáldimenzió ebben a cikkben leírt fogalma egy összetett szerkezet klasszikus formája. Az itt leírt példákat szemléltető céllal választottuk. A skála és az együttható régóta ismert. A gyakorlatban azonban a fraktáldimenziók közelítő léptékű módszerekkel határozhatók meg. A következő képletet használják a fraktáldimenzió meghatározására Bozhokin S.V. és Parshin D.A. „Fractals and Multifractals” [2] című könyvében:

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon )))

, ahol a halmaz lefedéséhez szükséges n-dimenziós sugarú "golyók" minimális száma .

N_\varepszilon

\varepsilon

E képlet szerint egy izolált pont, egy hosszúságú szakasz , egy felület , egy térfogattér esetében a fraktáldimenzió egybeesik a szokásos euklideszi dimenzióval. $L$ $S$ $V$

Ezzel a képlettel kiszámítható például a Cantor-halmaz fraktáldimenziója ( lásd a 7. ábrát ). Nyilvánvaló, hogy a -edik lépésben hosszúságú szegmenseket kapunk , amiből az következik, hogy a Cantor-halmaz fraktáldimenziója 0,6309 [2] . $n$ $2^{n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3^{n))))$

Az alábbiakban a különböző típusú fraktáldimenziók formális definícióit adjuk meg. Annak ellenére, hogy néhány klasszikus fraktál esetében ezek a dimenziók egybeesnek, általában nem egyenértékűek:

Minkowski dimenzió : D hatványtörvény kitevőként kerül kiértékelésre.

D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon )))).

Információs dimenzió: A D az elfoglalt kapacitás és a kapacitás méretének meghatározásához szükséges átlagos információ ; - valószínűség. $p$

D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

D korrelációs dimenzió alapjaés g ε , ahol a fraktál ábrázolására használt pontok száma, g ε az egymáshoz ε-nél közelebb eső pontpárok száma. $M$ $M$

D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon ))

Általános Renyi méretek:

A Minkowski, információs és korrelációs dimenziók az α rendű általánosított dimenziók folytonos spektrumának speciális esetének tekinthetők, az alábbiak szerint:

D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

Higuchi dimenzió [25]

$D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)))$

Ljapunov dimenzió
Multifraktál dimenziók: A Rényi méretek speciális esete, amikor a lépték viselkedése a rajz különböző részein változik.
A mutató bizonytalansága
Hausdorff dimenzió
Csomagolási méret
Aszoid méret
Helyi vonatkozású dimenzió [26]

Valós adatok becslése

Sok valós világbeli jelenség korlátozott vagy statisztikai jellegű fraktáltulajdonságokkal és fraktáldimenziókkal rendelkezik, amelyek számítógépes fraktálelemzési módszerekkel adatmintából megbecsülhetők . A gyakorlatban a fraktáldimenzió mérése különböző módszertani kérdésektől függ, és érzékenyek a numerikus vagy kísérleti zajokra, és korlátozott az adatmennyiség. Ennek ellenére a terület gyorsan fejlődik a statisztikailag önhasonló jelenségek fraktáldimenziójának becslésében. A fraktáldimenziónak számos gyakorlati alkalmazása van különböző területeken, beleértve a diagnosztikai képalkotást, [27] [28] fiziológiát, [11] idegtudományt, [12] orvostudományt, [29] [30] [31] fizikát, [32] [33]. elemző képalkotás, [34] [35] [36] [37] akusztika, [38] a Riemann zéta-függvény nullái [39] és elektrokémiai folyamatok [40] .

A közvetlen mérés alternatívája egy olyan matematikai modell, amely egy valódi fraktál objektum kialakulásához hasonlít. Ebben az esetben a modellből származó egyéb fraktáltulajdonságok mérési adatokkal való összehasonlításával is elvégezhető az ellenőrzés. A kolloidfizikában a rendszerek különböző fraktáldimenziójú részecskékből állnak. E rendszerek leírására a fraktáldimenzió valószínűségi eloszlását használjuk. Végül pedig az idő az utóbbi evolúciója: ez egy olyan folyamat, amelyet az aggregáció és az összeolvadás [41] komplex kölcsönhatása vezérel .

Lásd még

Számított Hausdorff-dimenziójú fraktálok listája
Lacunarity
Multifraktál elemzés
tört derivált

Jegyzetek

↑ Lásd a különböző fraktáldimenziók grafikus ábrázolását
↑ Lásd: Fraktál paraméterek

Jegyzetek

↑ Mandelbrot B., 2002 .
↑ 1 2 3 Bozhokin S.V., 2001 .
↑ 1 2 Mandelbrot B., 1967 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Benoit B. Mandelbrot, 1983 .
↑ Harte D., 2001 .
↑ 1 2 3 Balay-Karperien A., 2004 .
↑ 1 2 3 4 5 Vicsek T. (1992), 1992 , p. tíz.
↑ 1 2 3 Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F., 2005 .
↑ 1 2 3 Falconer K., 2003 .
↑ Chen Y, 2011 .
↑ 12 Popescu DP, 2010 .
↑ 12 King R.D., 2009 .
↑ 1 2 3 Peters E., 1996 .
↑ 1 2 3 Gerald E., 2004 .
↑ 1 2 3 Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson, 2008 .
↑ 1 2 3 4 Mandelbrot Benoit, 2004 .
↑ Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M., 2012 .
↑ Sagan H., 1994 .
↑ 1 2 Helge von Koch, "Az elemi geometriából konstruálható érintők nélküli folytonos görbén", 2004 .
↑ Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew, 2009 .
↑ 12 Nigel G., 2000 .
↑ 1 2 MacTutor A matematika története .
↑ 1 2 3 Iannaccone, Khokha, 1996 .
↑ Vicsek T. (2001), 2001 .
↑ Higuchi T.
↑ Jelinek A., 2008 .
↑ Landini G., 1995 .
↑ Cheng Qiuming, 1997 .
↑ Liu Jing Z., 2003 .
↑ Smith T.G., 1996 .
↑ Li J., 2009 .
↑ Dubuc B., 1989 .
↑ Roberts A., 1996 .
↑ Al-KadiOS, 2008 .
↑ Pierre S., 1996 .
↑ Tolle CR, 2003 .
↑ Gorsich DJ, 1996 .
↑ Maragos P., 1999 .
↑ Shanker O., 2006 .
↑ Eftekhari A., 2004 .
↑ Kryven I., 2014 .

Irodalom

Al-Kadi OS, Watson D. Agresszív és nem agresszív tüdődaganat textúraelemzése CE CT képek // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 2008. - T. 55 , 7. sz . - S. 1822-1830 . - doi : 10.1109/tbme.2008.919735 . Az eredetiből archiválva : 2014. április 13.
Alexanderson Albers , Alexanderson Gerald L. Benoit Mandelbrot: Saját szavaival // Mathematical people : profiles and interjús. - Wellesley, Mass: A.K. Peters, 2008. - 214 p. - ISBN 978-1-56881-340-0 .
Balay-Karperien A. A mikroglia morfológiájának meghatározása: forma, funkció és fraktáldimenzió . - Charles Sturt Egyetem, 2004. - P. 3. - 86 p.
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktálok és multifraktálok . - 2001. - S. 15 -18. — 128 p. — ISBN 5-93972-060-9 .
Chen Y. Városméret-eloszlások fraktálszerkezetének modellezése korrelációs függvények segítségével // PLoS ONE. - 2011. - T. 6 , 9. sz . — S. e24791 . - doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . - Iránykód . - arXiv : 1104.4682 . — PMID 21949753 .
Cheng Qiuming. Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis // Mathematical Geology. - 1997. - T. 29 , 7. sz . - S. 919-932 . - doi : 10.1023/A:1022355723781 . — PMID 7499097 .
Dubuc B., Quiniou J., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S. Evaluating the fractal dimensions of profiles // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39 , No. 3 . - S. 1500-1512 . - doi : 10.1103/PhysRevA.39.1500 . - . — PMID 9901387 .
Eftekhari A. Elektrokémiai reakciók fraktáldimenziója // Journal of the Electrochemical Society. - 2004. - T. 151 , 9. sz . — E291–E296 o . - doi : 10,1149/1,1773583 .
Falconer K. Fraktálgeometria. - New York: Wiley, 2003. - 308 p. — P. 27–37. - ISBN 978-0-470-84862-3 .
Gerald E. Klasszikusok a fraktálokról . — Boulder: Westview Press, 2004. — P. 25–46 . — 86 p. - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gerald Edgar. Helge von Koch: "Az elemi geometriából konstruálható érintők nélküli folytonos görbén" // Klasszikusok a fraktálokról . — Boulder: Westview Press, 2004. — P. 25–46 . - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gorsich DJ, Tolle CR, Karlsen RE, Gerhart GR Wavelet alkalmazások a jel- és képfeldolgozásban IV // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1996. - T. 2825 . - S. 109 . - doi : 10.1117/12.255224 .
Harte D. Multifraktálok. - London: Chapman & Hall, 2001. - P. 3-4. — ISBN 978-1-58488-154-4 .
Higuchi T. Egy irreguláris idősor megközelítése a fraktálelmélet alapján (link inaccessible) (1987). Hozzáférés dátuma: 2016. január 16. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)
Iannaccone, Khokha. Fraktálgeometria a biológiai rendszerekben . - 1996. - ISBN 978-0-8493-7636-8 .
Jelinek A., Jelinek HF, Leandro JJ, Soares JV, Cesar Jr RM, Luckie A. A proliferatív retinopátia automatizált kimutatása a klinikai gyakorlatban // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2008. - V. 2 , 1. sz . – S. 109–122 . - doi : 10.2147/OPTH.S1579 . — PMID 19668394 .
King RD Az agykéreg atrófiás változásainak jellemzése fraktáldimenziós elemzéssel // Agyképalkotás és viselkedés. - 2009. - V. 3 , 2. sz . – S. 154–166 . - doi : 10.1007/s11682-008-9057-9 . — PMID 20740072 .
Kryven I., Lazzari S., Storti G. Population Balance Modeling of Aggregation and Coalescence in Colloidal Systems // Makromolekuláris elmélet és szimulációk. - 2014. - T. 23 , 3. sz . - S. 170 . - doi : 10.1002/mats.201300140 .
Landini G., Murray PI, Misson GP 60 fokos fluoreszcein angiogramok helyi kapcsolt fraktáldimenziói és lacunarity analízisei // Investigative Ophthalmology & Visual Science. - 1995. - T. 36 , 13. sz . – S. 2749–2755 . — PMID 7499097 .
Li J., Du Q., Sun C. Egy továbbfejlesztett dobozszámláló módszer képfraktáldimenzióbecsléshez // Pattern Recognition. - 2009. - T. 42 , 11. sz . - S. 2460 . - doi : 10.1016/j.patcog.2009.03.001 . - Iránykód . — PMID 8946315 .
Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H. Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging // Biophysical Journal. - 2003. - T. 85 , 6. sz . — S. 4041–4046 . - doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . - Iránykód . — PMID 14645092 .
Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F. Fraktálok a biológiában és az orvostudományban . - Springer, 2005. - ISBN 978-3-7643-7172-2 .
Mandelbrot B. Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? Statisztikai önhasonlóság és törtdimenzió // Tudomány. - 1967. - T. 156 , 3775. sz . – S. 636–638 . - doi : 10.1126/tudomány.156.3775.636 . - . — PMID 17837158 .
Mandelbrot Benoit B. A természet fraktálgeometriája . - Macmillan, 1983. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
Mandelbrot B. A természet fraktálgeometriája . - 2002. - S. 46 . — 666 p.
Mandelbrot Benoit. Fraktálok és káosz. - Berlin: Springer, 2004. - P. 38. - ISBN 978-0-387-20158-0 .
Maragos P., Potamianos A. A beszédhangok fraktáldimenziói: Számítás és alkalmazás az automatikus beszédfelismeréshez // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1999. - T. 105 , 3. sz . - S. 1925-1932 . - doi : 10,1121/1,426738 . — . — PMID 10089613 .
Nigel G. A fraktálgeometria bemutatása . - Duxford: Ikon, 2000. - 71. o . — ISBN 978-1-84046-123-7 .
Peters E. Káosz és rend a tőkepiacokon: a ciklusok, az árak és a piaci volatilitás új szemlélete. - New York: Wiley, 1996. - ISBN 0-471-13938-6 .
Pierre S., Jean-F. Rivest. A fraktál méretmérések érvényességéről a képelemzésben // Journal of Visual Communication and Image Representation. - 1996. - T. 7 , 3. sz . — S. 217-229 . — ISSN 1047-3203 . doi : 10.1006/ jvci.1996.0020 . Az eredetiből archiválva: 2011. július 20.
Popescu, DP, Flueraru, C., Mao, Y., Chang, S., Sowa, MG Signal attenuation and box-counting fractal analysis of optic coherence tomography images of artériás szövet // Biomedical Optics Express. - 2010. - T. 1 , 1. sz . – S. 268–277 . - doi : 10.1364/boe.1.000268 . — PMID 21258464 .
Roberts A., Cronin A. Véges adathalmazok több fraktál dimenzióinak elfogulatlan becslése // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1996. - T. 233 , 3-4 . - S. 867 . - doi : 10.1016/S0378-4371(96)00165-3 . — .
Sagan H. Térkitöltő görbék. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 156 p. - ISBN 0-387-94265-3 .
Shanker O. Véletlenszerű mátrixok, általánosított zéta-függvények és nulla eloszlások önhasonlósága // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39 , 45. sz . - S. 13983 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - Iránykód .
Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M. Rendellenes diffúzió és multifraktál dimenziók vizsgálata polipirrol filmben // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2012. - T. 671 . - S. 51 . - doi : 10.1016/j.jelechem.2012.02.014 .
Smith TG, Lange GD, Marks WB Fraktál módszerek és eredmények a celluláris morfológiában – dimenziók, lacunarity and multifractals // Journal of Neuroscience Methods. - 1996. - T. 69 , 2. sz . – S. 123–136 . - doi : 10.1016/S0165-0270(96)00080-5 . - Iránykód . — PMID 8946315 .
Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew. Az emberi szív periódusbeli változékonyságának fraktál tulajdonságai: Fiziológiai és módszertani vonatkozások // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2009. - T. 587 , 15. sz . - S. 3929 . - doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 .
Tolle CR, McJunkin TR, Gorsich DJ Szuboptimális minimális fürttérfogat-alapú módszer a fraktáldimenzió mérésére // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2003. - T. 25 . - S. 32 . - doi : 10.1109/TPAMI.2003.1159944 . Az eredetiből archiválva: 2011. július 20.
Trochet, Holly. A fraktálgeometria története . MacTutor Matematika története (2009). Hozzáférés időpontja: 2016. január 16. Az eredetiből archiválva : 2012. február 4. (határozatlan)
Vicsek T. Fraktál növekedési jelenségek. - Singapore New Jersey: World Scientific, 1992. - 165 p. — ISBN 5-09-002630-0 .
Vicsek T. Fluktuációk és skálázás a biológiában. - Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press, 2001. - ISBN 0-19-850790-9 .

További olvasnivalók

Mandelbrot, Benoit B. , A piacok (hibás) viselkedése, A kockázat, a tönkretétel és a jutalom fraktálszemlélete (Alapkönyvek, 2004)

Linkek

A TruSoft Benoit nevű fraktálelemző szoftverterméke kiszámolja a fraktáldimenziókat és a hurst exponenseket.
Java kisalkalmazás a fraktál méretek kiszámításához
Bevezetés a fraktálanalízisbe
Bowley, Roger Fractal Dimenzió . Hatvan szimbólum . Brady Haran , a Nottinghami Egyetem munkatársa (2009). (határozatlan)

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika