Véges dimenziós tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A véges dimenziós tér olyan vektortér , amelyben van egy véges bázis - egy generáló (teljes) lineárisan független vektorrendszer. Más szóval, egy ilyen térben létezik egy véges, lineárisan független vektorrendszer, amelynek lineáris kombinációja az adott tér bármely vektorát reprezentálhatja.

A bázis (egyidejűleg) egy minimális generáló (teljes) rendszer és egy maximális lineárisan független vektorrendszer. Minden bázis ugyanannyi elemet tartalmaz, amit a vektortér dimenziójának nevezünk .

Euklideszinek nevezzük azt a véges dimenziós teret, amelyben elemeinek skaláris szorzata kerül bevezetésre . Egy véges dimenziós teret, amelyben elemeinek normája be van vezetve, véges dimenziós normált térnek nevezzük . Egy belső szorzat vagy norma jelenléte egy metrikát generál egy véges dimenziós térben .

Véges dimenziós terek tulajdonságai

Egy véges dimenziós tér bármely eleme egyedileg ábrázolható a formában $x$ $x$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ ahol az a mező (gyakran vagy ), amelyre a teret tekintjük , az alap elemei. Ez az alap definíciójából következik. ${\mathbb P}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $x$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$

Ezenkívül az euklideszi tér bármely alapja ortonormálissá tehető a Schmidt-ortogonalizáció segítségével .

Egy véges dimenziós tér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a tulajdonság adja meg a térdimenzió meghatározásának helyességét .
Legyen véges dimenziós tér és lineárisan független elemrendszer . Akkor ez a rendszer mindig kiegészíthető egy alappal . $x$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$
Minden azonos dimenziójú véges dimenziós tér izomorf egymással.
Egy mező felett bármely véges dimenziós térben bevezethető egy belső szorzat . Például egy fix bázisú, dimenziójú térben megadhatjuk a skaláris szorzatot a szabály szerint: , ahol a vektorok összetevői , ill. Ebből a tulajdonságból következik, hogy egy mező feletti véges dimenziós térben bevezethető egy norma és egy metrika . Ennek eredményeként a következőket kaphatja: $\mathbb {R}$ $x$ $n$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\mathbb {R}$
- $x$ egy reflexív tér [1] .
- A véges dimenziós térrel
duális tér véges dimenziós, és mérete egybeesik a térrel . $X^{*}$ $x$ $x$
Egy véges dimenziós tér bármely alteréhez létezik olyan [2] altér , amely és a és , közvetlen összegére bomlik . $M\X részhalmaz$ $x$ $M^{\perp }\subset X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ $x$ $M$ ${\displaystyle M^{\perp ))$ ${\displaystyle X=M\oplus M^{\perp ))$

Az euklideszi térben minden gyengén konvergens sorozat erősen konvergál.

Egy mező feletti véges dimenziós térben minden norma egyenértékű. A konvergencia az euklideszi térben megegyezik a koordináta szerinti konvergenciával.

\mathbb {R}

Egy véges dimenziós térben minden lineáris folytonos operátor mátrixként ábrázolható .

A mező feletti tér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha az identitásoperátor teljesen folytonos .

x

\mathbb {R}

I:X\rightarrow X

Egy tér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha van rá egy megfordítható , teljesen folytonos operátor .

x

x

Egy tér akkor és csak akkor végesdimenziós, ha az egységgömb előtömörített. Ezt a tulajdonságot a következőképpen lehet újrafogalmazni: egy tér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha bármely halmaz, amelybe van határolva, prekompakt.

x

x

x

x

A véges dimenziós térben meghatározott bármely lineáris operátor folytonos , sőt teljesen folytonos .

A:X\rightarrow Y

x

Egy véges dimenziós térben minden operátor akkor és csak akkor unitárius , ha izometrikus, azaz megőrzi a pontszorzatot.

Példák

Az euklideszi tér dimenziója 3, alapjául vektorok hármasát lehet választani ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),{\begin {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\jobbra\}

Általánosabb eset az n méretű terek . A bennük lévő normát általában a következő módok egyikével állítják be ( ): $\mathbb {R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

vagy

\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.

Ha bevezetjük a normát és a skalárszorzatot, akkor a tér euklideszi lesz. ${\displaystyle \|x\|_{2))$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ az összes fokú polinom tere legfeljebb . Ennek a térnek a dimenziója . A polinomok alapot képeznek benne. $n$ $n+1$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n))$
Legyen tetszőleges lineáris tér és legyen valamilyen lineárisan független vektorrendszer. Ekkor a rendszer által átívelt lineáris fesztáv egy véges dimenziós tér. $x$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

Lásd még

Végtelen tér

Jegyzetek

↑ Ezt a tényt a Riesz-Fréchet tétel segítségével és direkt számításokkal is megkaphatjuk, a Hilbert-terek elmélete nélkül.
↑ -t gyakran ortogonális kiegészítésének nevezik ${\displaystyle M^{\perp ))$ $M$

Irodalom

Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek = Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika