Lineáris folytonos operátor

Egy lineáris folytonos operátor , amely egy X lineáris topológiai térből egy Y lineáris topológiai térbe hat , egy X - ről Y - re történő lineáris leképezés , amelynek folytonossági tulajdonsága van . $A:X\rightarrow Y$

A "lineáris folytonos operátor " kifejezést általában akkor használják, ha Y többdimenziós . Ha Y egydimenziós, azaz. magával a mezővel ( vagy ) esik egybe , akkor a lineáris folytonos funkcionális [1] kifejezést szokás használni . Az X -től Y -ig terjedő lineáris folytonos operátorok halmazát jelöli . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

A normált terek elméletében a folytonos lineáris operátorokat inkább korlátos lineáris operátoroknak nevezik a következő okból. A folytonos lineáris operátorok elmélete fontos szerepet játszik a funkcionális elemzésben , a matematikai fizikában és a számítási matematikában .

Tulajdonságok

Ha X véges dimenziós , akkor bármely lineáris operátor folytonos.
Egy lineáris operátor folytonossága a nullánál megegyezik a folytonosságával bármely más pontban (és ezért az egész X -ben ).
Normált terek esetén a folytonosság és a korlátosság (vagyis az operátornorm végessége ) feltételei egyenértékűek. [2] . Általános esetben a lineáris operátor folytonossága korlátosságot von maga után, de ennek fordítva nem mindig igaz.
Ha X és Y Banach-terek , és az operátor képe egybeesik az Y térrel , akkor van inverz operátor (az ún. inverz operátortétel ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\in L(Y,X)$
Az X -től Y -ig terjedő lineáris folytonos operátorok halmaza maga is egy lineáris topológiai tér. Ha X és Y normalizálva van, akkor a norma operátor is normalizálja . Ha Y Banach, akkor az is, függetlenül X teljességétől . $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

A lineáris folytonos operátor tulajdonságai erősen függnek az X és Y terek tulajdonságaitól . Például, ha X véges dimenziós tér , akkor az operátor teljesen folytonos operátor lesz , tartománya véges dimenziós lineáris altér, és minden ilyen operátor mátrixként ábrázolható [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Folytonosság és konvergens sorozatok

Az X lineáris topológiai térből egy Y lineáris topológiai térbe lépő lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos , ha X bármely pontsorozatára következik . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0))$ ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0))$

Konvergáljon a sorozat , és legyen lineáris folytonos operátor. Aztán az egyenlőség $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Ez azt jelenti, hogy a lineáris operátor terminusonként alkalmazható lineáris topológiai terekben lévő konvergens sorozatokra.

Ha X , Y Banach terek , akkor a folytonos operátor minden gyengén konvergens sorozatot gyengén konvergenssé alakít át:

ha gyenge, akkor gyenge.

x_{n}\to x

Ax_{n}\to Ax

Kapcsolódó definíciók

A lineáris operátort alulról korlátosnak mondjuk, ha . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Lásd még

Adjunkt operátor

Irodalom

Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek = Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Shilov G.E. Matematikai elemzés (egy változó függvényei), 3. rész. - M .: Nauka , 1970 . — 352 p.

Jegyzetek

↑ A lineáris folytonos függvények olyan sajátos tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek általános esetben nem fordulnak elő, és speciális matematikai struktúrákat generálnak, ezért a lineáris folytonos függvények elméletét az általános elmélettől elkülönítve vizsgáljuk.
↑ Naimark M. A. Normed gyűrűk. — M .: Nauka, 1968. — 664 p.
↑ A bázisú véges dimenziós térben egy lineáris folytonos operátort úgy is ábrázolhatunk, mint , ahol a duális tér függvényei . $x$ ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n))$ $A$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$