Fordított operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az operátor inverz operátora olyan operátor , amely az operátor minden értékkészletéhez egyetlen elemet rendel hozzá az operátor tartományából , ami az egyenlet megoldása . Ha az operátornak van inverze, azaz az egyenletnek van egyedi megoldása bármelyikre , akkor azt reverzibilisnek nevezzük . Az inverz operátort [1] jelöljük . $A$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $x$ ${\mathcal {D}}(A)$ $A$ $Ax=y$ $A$ $Ax=y$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $A^{{-1}}$

A létezés meghatározása és feltételei

Egy másik definíció: az operátort az if operátor inverzének nevezzük , ahol az identitás operátor . Ha csak a reláció teljesül, vagy csak akkor az operátort bal inverznek vagy jobbos inverznek nevezzük . Ha egy operátornak van bal inverze és jobb oldali inverze, akkor ezek egyenlőek egymással, és az operátor invertálható [2] . Ha létezik inverz operátor, akkor az egyedileg definiált [3] . $B$ $A$ $BA=I,\,AB=I$ $én$ $BA=I$ $AB=I,$ $B$ $A$ $A$

Egy operátor invertálható, ha egy az egyhez leképez, azaz különböző értékeket vesz fel a különböző . [4] Ha az operátor lineáris , akkor az inverz operátor létezéséhez elegendő, ha csak akkor teljesül, ha [5] . $A$ ${\mathcal {D}}(A)$ ${\mbox{Im}}\,A$ $x\in {\mathcal {D}}(A)$ $y$ $A$ $A x = 0$ $x=0$

Egy lineáris operátornak (még egy korlátozottnak is ) lehet egy inverz operátora, amely nem a teljes térben van definiálva . Például térben a $\ell _{2}$ lineáris operátor

A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\pontok )

van egy inverze, amely nullával egyenlő első koordinátájú vektorokra van definiálva: [5] . $x_{1}=0$

Tulajdonságok

$(A^{-1})^{-1}=A.$ [6]
$(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$ [3]
A lineáris operátorral fordított operátor szintén lineáris. [egy] $A^{{-1}}$
${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1))$ , egy adjungált operátor [7] . $A^{*}$

Inverz operátortételek

Banach tétele

Legyen egy lineáris korlátos operátor , amely egy Banach -teret egy az egyhez módon képez le egy Banach -térre . Ekkor az inverz operátor korlátos. $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$

Banach tétele a lineáris elemzés egyik alapelve [8] . Ebből a nyílt leképezési tétel következik : egy Banach-tér lineáris folyamatos leképezése (minden) Banach-térre nyitott [9] . $A$ $E$ $E_1$

Elegendő feltételek az inverz operátor létezéséhez

Legyen egy lineáris operátor , amely egy normált lineáris teret egy normált lineáris térre leképez , bármilyen feltételt kielégít $A$ $E$ $E_1$ $x\in E$

\|Ax\|\geq m\|x\|,

hol van valami állandó . Ekkor van egy inverz korlátos lineáris operátor [10] . $m>0$ $A^{{-1}}$

Legyen egy lineáris korlátos invertálható operátor, amely egy Banach-térből egy Banach-térbe lép, és egy lineáris korlátos operátor -ból olyan , hogy . Ekkor az operátornak van egy korlátos inverze, és $A$ $E$ $E_1$ $\Delta A$ $E$ $E_1$ $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$ $B=A+\Delta A$

\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\ Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}

[11] [12] .

Legyen egy Banach-tér , legyen az identitás operátora , és egy lineárisan korlátos operátor , amely önmagára képezi le úgy, hogy . Ekkor az operátor létezik, korlátos és sorozatként jelenik meg $E$ $én$ $E$ $A$ $E$ $\|A\|<1$ $(IA)^{-1}$

{\displaystyle (IA)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k))

[13] .

Példák

Fourier transzformáció

g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt

egy térből $L_{2}(-\infty ,\infty )$ önmagába ható lineáris korlátos operátornak tekinthető . Inverz operátora az inverz Fourier transzformáció

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\ lambda

[14] .

Az integráció és differenciálás operátorai

Az integrációs operátor számára

Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,

folytonos függvények terében hatva az inverz lesz a differenciálási operátor : $C[0,1]$

A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),

folytonosan differenciálható függvények lineáris sokaságán definiálva úgy, hogy [15] . $y(0) = 0$

Sturm-Liouville operátor

Egy Sturm-Liouville-féle differenciáloperátor esetében, amelyet kétszer folyamatosan differenciálható függvényekből álló lineáris elosztón határoztak meg úgy, hogy az inverz operátor az integrál operátor $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ $x(0)=x(1)=0$

A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,

hol van a Zöld függvénye . egy lineáris korlátos operátor a [15]-ben . $G(t,\tau )$ $A^{{-1}}$ $C[0,1]$

Integrál operátor

Hadd

Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

a folytonos függvények terének integrált operátora . A paraméter kellően kis értékei esetén az operátornak (ahol az identitás operátora ) van egy korlátos inverze $C[0,1]$ $\lambda$ $(I-\lambda A)$ $én$

(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\ ,ds

hol van a kernel oldója . A rezolvens ismeretében találhatunk megoldást az integrálegyenletre $R(t,s,\lambda )$ $K(t, s)$

x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

bármely szabad időtartamra [16] . $y(t)$

Inverz operátor véges dimenziós térben

Egy véges dimenziós térben lévő operátor akkor és csak akkor invertálható, ha a rangja egybeesik a tér dimenziójával . Más szóval, mátrixának determinánsa nem nulla. Az inverz operátor az inverz mátrixnak felel meg [17] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , p. 225.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 128.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , p. 168.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 351.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , p. 319.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 154.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 207.
↑ Helemsky A. Ya. Lineáris operátor // Mathematical Encyclopedia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , IV. fejezet, 5. §, 4. o.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 155.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 157.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , p. 229.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , p. 230.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , VIII. fejezet.
↑ 1 2 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 161.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 163.
↑ Iljin V. A. , Poznyak E. G. Lineáris algebra. Proc. egyetemek számára. - 5. kiadás - M . : Fizmatlit, 2002. - 320 p. — ISBN 5-9221-0129-3 .

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — Tudomány, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei. - Szerk. 2., átdolgozott .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Sobolev V.I. Inverz leképezés // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.