Folyamatos függvények tere

A folytonos függvények tere egy lineáris normált tér , melynek elemei a szakaszon lévő folytonos függvények (általában , néha vagy vagy ) . A normát ezen a területen a következőképpen határozzák meg: $[a,b]$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $C^{0}[a,b]$ $C^{(0)}[a,b]$ $C(a,b)$

||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Ezt a normát Csebisev-normának vagy egységes normának is nevezik , mivel ebben a normában a konvergencia egyenlő az egységes konvergenciával .

Tulajdonságok

Ha a -ból származó elemek sorozata ebben a térben konvergál valamilyen határfüggvényhez , akkor . $x_{n}$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $x(t)$ $x_{n}\rightrightarrows x$ $n\to\infty$
- Innen: — Banach szóköz . ${\mathrm {C} }[a,b]$
A folytonos függvények tere szeparálható : egy mindenhol megszámlálható sűrű halmaz alkotja az összes racionális együtthatós polinom halmazát . Ezt az állítást a Weierstrass-közelítési tétel eredményeként kapjuk .
A paralelogramma azonossága nem érvényesül benne, így a benne lévő norma nem generál skaláris szorzatot . ${\mathrm {C} }[a,b]$

Változatok és általánosítások

Hasonlóképpen, ez a tér is a régiók és azok lezárásaira épül . Nem kompakt készlet esetén a maximumot a legkisebb felső határral kell helyettesíteni .

Tehát a folytonos korlátos függvények ( vektorfüggvények ) tere az összes folytonos korlátos függvény halmaza, a rájuk bevezetett normával: $C(X,Y)$ $x:X\to Y$

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

A Csebisev-normával együtt gyakran figyelembe veszik a folytonos függvények terét egy integrált normával:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

E norma értelmében az intervallumon folytonos függvények tere már nem alkot teljes lineáris teret . Alapvető, de nem konvergens benne, például a sorrend $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n))\\nt,\quad t\in (-{\frac {1 }{n)),{\frac {1}{n)))\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n))\end{cases))

Befejezése az összegezhető függvények tere . $L_{1}[a,b]$

Irodalom

Kolmogorov A. N., Fomin S. I. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — M .: Nauka , 2004 .
L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. A funkcionális elemzés elemei. - M .: Nauka , 1965 .
M. Reed, B. Simon. A modern matematikai fizika módszerei. Vol.1 Funkcionális elemzés. - New York London: Academic Press, 1973 .
Yosida K. Funkcionális elemzés. - M .: Mir, 1967 .