Banach tér

A Banach - tér egy normált vektortér , amely a norma által generált metrikához képest teljes . A funkcionális elemzés fő vizsgálati tárgya .

Nevét Stefan Banach (1892–1945) lengyel matematikusról kapta , aki 1922-től szisztematikusan tanulmányozta ezeket a tereket.

Példák

Néhány példa a Banach szóközökre (a továbbiakban az egyik mező, vagy jelölése ): $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Azok az euklideszi terek , amelyeknek euklideszi normája van definiálva, Banach- terek. $K^n$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $\|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2))}$
A zárt intervallumon definiált összes folytonos függvény tere Banach-tér lesz, ha normáját így definiáljuk . Egy ilyen függvény normális lenne, mivel a zárt intervallumon lévő folytonos függvények korlátosak. Egy ilyen normával rendelkező szóköz teljes, és a kapott Banach-teret a következővel jelöljük . Ez a példa általánosítható az összes folytonos függvény terére , ahol egy kompakt tér , vagy az összes korlátos folytonos függvény terére , ahol bármilyen topológiai tér , vagy akár az összes korlátos függvény terére , ahol bármely halmaz . Mindezekben a példákban megszorozhatunk függvényeket, miközben ugyanabban a térben maradunk: ezek a példák mindegyike Banach algebra . $f\kettőspont [a,\;b]\K-ra$ $[a,\;b]$ $\|f\|=\sup\{|f(x)|\kettőspont x\in [a,\;b]\}$ $Taxi]$ $C(X)$ $X\-nek K$ $x$ $X\-nek K$ $x$ $B(X)$ $X\-nek K$ $x$
Ha valós szám, akkor az összes olyan végtelen elemsorozat tere, amelyből a sorozat konvergál, Banach a normához képest, amely egyenlő ennek a sorozatnak az összegének hatványgyökével, és jelöli . $p\geqslant 1$ $(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )$ $K$ $\sum |x_{i}|^{p}$ $p$ $l^{p}$
A Banach-tér a -ból származó összes korlátos elemsorozatból áll ; egy ilyen sorozat normáját a sorozat elemeinek abszolút értékeinek (moduljainak) pontos felső határaként határozzuk meg. $l^{\infty }$ $K$
Ismét, ha valós szám, akkor minden olyan függvényt tekinthetünk, amely Lebesgue -val integrálható (és a modulusuk mértéke is összegezhető). A függvény modulusa harmadfokú integráljának fokszámának gyöke szeminormaként van definiálva . Ez a halmaz nem Banach tér, mivel vannak nem nulla függvények, amelyek normája nullával egyenlő. Egy ekvivalenciarelációt a következőképpen határozunk meg: és akkor és csak akkor ekvivalensek, ha a különbség szeminormája nulla. Az ekvivalenciaosztályok halmaza ehhez a relációhoz már egy Banach-tér; -ként van jelölve . Fontos, hogy a Lebesgue-integrált használjuk , ne a Riemann-integrált , mivel a Riemann-integrál nem generál teljes teret. Ezek a példák általánosíthatók. Lásd például L p -spaces . $p\geqslant 1$ $p$ $p$ $p$ $f$ $f$ $g$ $fg$ $L^{p}[a,\;b]$
Ha az és Banach terek, akkor összeállíthatjuk a közvetlen összegüket , ami ismét egy Banach tér. Ezt a példát általánosíthatjuk tetszőlegesen sok Banach-szóköz közvetlen összegére is. $x$ $Y$ $X\oplus Y$
Ha egy Banach-tér zárt altere , akkor a hányadostér ismét egy Banach-tér. $M$ $x$ $X/M$
Bármely Hilbert mező egyben Banach mező is. Ennek a fordítottja nem igaz.
Ha és Banach-terek egy mező felett , akkor a folytonos lineáris leképezések halmazát jelöli . Vegye figyelembe, hogy a végtelen dimenziós terekben nem minden lineáris leképezés automatikusan folyamatos. vektortér, és ha a normát úgy adjuk meg , hogy egyben Banach-tér is. $V$ $W$ $K$ $K$ $A\kettőspont V\-W$ $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}$
- A tér egy
egységes Banach algebra ; a szorzás működését benne lineáris leképezések összetételeként határozzuk meg. $L(V)=L(V,\;V)$

A Banach szóközök típusai

Irodalom

I. M. Vinogradov. Banach tér // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)// Matematikai enciklopédia / Ch. szerk. I. M. Vinogradov. - M .: Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007282589705171 LCCN : sh85011441 NDL : 00560500 NKC : ph117384