Minkowski dimenzió

A Minkowski-dimenzió vagy egy metrikus térben lévő korlátos halmaz durva dimenziója az

\lim \limits _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )))

ahol az átmérőjű halmazok minimális száma , amely lefedheti a halmazunkat. Ha a határ nem létezik, akkor figyelembe vehetjük a felső és alsó határt , és beszélhetünk a felső és alsó Minkowski-dimenzióról. $N_\varepszilon$ $\varepsilon$

A Minkowski -dimenzióhoz közel álló fogalom a Hausdorff-dimenzió . Sok esetben ezek a méretek egybeesnek, bár vannak olyan halmazok, amelyeknél eltérnek.

Példák

egy véges halmaz dimenziója egyenlő nullával, mivel számára nem haladja meg a benne lévő elemek számát. $\rho (n)$
a szegmens mérete 1, mivel a hosszszegmens lefedéséhez hosszúságú szegmensekre van szükség . Ily módon $\lceil a/\epsilon \rceil$ $\epsilon$ $a$ $\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$ ,
egy négyzet mérete 2, mivel az oldalsó négyzet lefedéséhez szükséges átlós négyzetek száma körülbelül úgy viselkedik, mint . $1/n$ $a$ $a^{2}n^{2}$
a fraktálhalmaz dimenziója lehet törtszám. Tehát a Koch-görbe dimenziója . $\ln 4/\ln 3$

A részletekben

Az ezt bemutató informális megbeszélés a következő. A szegmens az eredeti szegmenshez hasonlóan 1/2-es tényezővel 2 részre osztható. Egy szegmens átmérőjű halmazokkal való lefedéséhez minden felét le kell fednünk ilyen halmazokkal. De ezek feléhez ugyanannyira van szükség, mint az átmérőjű készletek teljes szegmenséhez . Ezért a szegmensre . Vagyis ha megduplázódik , akkor megduplázódik is. Más szóval, ez egy lineáris függvény. $1/n$ $2/n$ $\rho (n)\körülbelül 2\rho (n/2)$ $n$ $\rho (n)$ $\rho (n)$

Négyzetre egy hasonló érv ad . Vagyis kétszeres növekedéssel 4-szeresére nő. Más szóval, másodfokú függvény.

\rho (n)\kb. 4\rho (n/2)

n

\rho (n)

\rho (n)

Végül a Koch-görbe 4 részből áll, amelyek mindegyike 1/3-os tényezőjével hasonlít az eredeti görbéhez. Ezért neki . Helyettesítve azt kapjuk . Ebből következik, hogy a dimenzió .

\rho (n)\kb. 4\rho (n/3)

n=3^{k}

\rho (3^{k})\kb. 4\rho (3^{{k-1}})\körülbelül 4^{2}\rho (3^{{k-2}})\körülbelül \pont \ kb. 4^{k}\rho (1)=4^{{\log _{3}n}}\rho (1)=n^{{\ln 4/\ln 3}}\rho (1)

\ln 4/\ln 3

Formálisan: legyen n a fraktál lépése, az n-edik lépésben egyenlő hosszúságú szakaszaink lesznek . Vegyünk ε-hez egy hosszúságú szakaszt , majd a teljes Koch-görbe lefedéséhez szegmensekre van szükségünk . Ahhoz, hogy az ε→0 feltétel teljesüljön, hajlítsunk n→ -re . Kap $4^{{n}}$ $3^{{-n}}$ $3^{{-n}}$ $4^{{n}}$ $\infty$

\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{n\to \ infty }}{\frac {\ln(4^{{n}})}{-\ln(3^{{-n}})))={\frac {\ln 4}{\ln 3}}

a Minkowski-készlet mérete 1/2. $\{0,1,{\frac 12},{\frac 13},{\frac 14},\dots \}$

Tulajdonságok

A halmazok véges uniójának Minkowski-dimenziója egyenlő a méretük maximumával. A Hausdorff-dimenzióval ellentétben ez nem igaz a megszámlálható unióra. Például a 0 és 1 közötti racionális számok halmazának Minkowski-dimenziója 1, bár ez egyelemű halmazok megszámlálható uniója (mindegyiknek 0 a dimenziója). A fentiekben egy nem nulla Minkowski-dimenziójú zárt megszámlálható halmazra mutatunk be példát.
Bármely halmaz alsó Minkowski-dimenziója nagyobb vagy egyenlő, mint a Hausdorff-dimenzió.
Bármely halmaz Minkowski-dimenziója megegyezik a lezárásának Minkowski-dimenziójával. Ezért van értelme csak a zárt halmazok Minkowski-dimenzióiról beszélni.

Lásd még

Irodalom

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. Moszkva: Nauka, 1973
Kronover R. M. Fraktálok és káosz dinamikus rendszerekben M.: POSTMARKET, 2000

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika