A Minkowski-dimenzió vagy egy metrikus térben lévő korlátos halmaz durva dimenziója az
,ahol az átmérőjű halmazok minimális száma , amely lefedheti a halmazunkat. Ha a határ nem létezik, akkor figyelembe vehetjük a felső és alsó határt , és beszélhetünk a felső és alsó Minkowski-dimenzióról.
A Minkowski -dimenzióhoz közel álló fogalom a Hausdorff-dimenzió . Sok esetben ezek a méretek egybeesnek, bár vannak olyan halmazok, amelyeknél eltérnek.
Az ezt bemutató informális megbeszélés a következő. A szegmens az eredeti szegmenshez hasonlóan 1/2-es tényezővel 2 részre osztható. Egy szegmens átmérőjű halmazokkal való lefedéséhez minden felét le kell fednünk ilyen halmazokkal. De ezek feléhez ugyanannyira van szükség, mint az átmérőjű készletek teljes szegmenséhez . Ezért a szegmensre . Vagyis ha megduplázódik , akkor megduplázódik is. Más szóval, ez egy lineáris függvény.
Négyzetre egy hasonló érv ad . Vagyis kétszeres növekedéssel 4-szeresére nő. Más szóval, másodfokú függvény. Végül a Koch-görbe 4 részből áll, amelyek mindegyike 1/3-os tényezőjével hasonlít az eredeti görbéhez. Ezért neki . Helyettesítve azt kapjuk . Ebből következik, hogy a dimenzió .Formálisan: legyen n a fraktál lépése, az n-edik lépésben egyenlő hosszúságú szakaszaink lesznek . Vegyünk ε-hez egy hosszúságú szakaszt , majd a teljes Koch-görbe lefedéséhez szegmensekre van szükségünk . Ahhoz, hogy az ε→0 feltétel teljesüljön, hajlítsunk n→ -re . Kap
fraktálok | ||
---|---|---|
Jellemzők | ||
A legegyszerűbb fraktálok | ||
furcsa vonzerő | Multifraktál | |
L-rendszer | Térkitöltő görbe | |
Bifurkációs fraktálok | ||
Véletlenszerű fraktálok | ||
Emberek | ||
Kapcsolódó témák |
A tér mérete | |
---|---|
Terek méret szerint |
|
Politópok és figurák |
|
A terek típusai |
|
Egyéb dimenziós fogalmak |
|
Matematika |