Szivacs Menger

A Menger szivacs  egy geometriai fraktál , a Sierpinski szőnyeg egyik háromdimenziós analógja .

Épület

Iteratív módszer

Az 1 élű kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. A központi kockát és ennek a felosztásnak a kétdimenziós lapjai mentén szomszédos kockáit eltávolítjuk a kockából. Kiderült, hogy egy készlet 20 megmaradt "első rangú" zárt kockából áll. Ugyanígy eljárva az első rangú kockák mindegyikével, kapunk egy készletet , amely 400 második rangú kockából áll. Ha ezt a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, végtelen sorozatot kapunk

amelynek tagjainak metszéspontja a Menger-szivacs.

Káosz játék

A Menger-szivacsot a káoszjáték [1] [2] nevű eljárással is megkaphatjuk , ami a következő:

1. 20 attraktorpont van megadva: az eredeti kocka éleinek 8 csúcsa és 12 felezőpontja.
2. Valami kiindulópont van beállítva, ami a kocka belsejében található.
3. A következő ciklusban pontsorozat épül fel:
   1. Egy attraktort véletlenszerűen választunk ki a 20 azonos valószínűséggel lehetséges közül.
   2. Egy pont új koordinátákkal épül fel: , ahol: — az előző pont koordinátái ; a kiválasztott attraktor koordinátái.

Ha sokszor végrehajtja a ciklust (legalább 100 ezret), majd az első néhány tíz pontot eldobja, akkor a fennmaradó pontok a Menger-szivacshoz közeli figurát alkotnak.

Tulajdonságok

• A Menger szivacs 20 egyforma részből áll, amelyek hasonlósági együtthatója 1/3.
• A Menger szivacs ortogonális vetületei a Sierpinski szőnyeget képviselik.
• A Menger-szivacsnak van egy köztes (vagyis nem egész ) Hausdorff-dimenziója , amely egyenlő, mert 20 egyenlő részből áll, amelyek mindegyike hasonló a teljes szivacshoz, 1/3-os hasonlósági tényezővel .
• Ráadásul a Menger-szivacs topológiai dimenziója 1
  • A Menger-szivacs topológiailag úgy jellemezhető, mint egy egydimenziósan összekapcsolt, lokálisan összefüggő, metrizálható kompakt halmaz, amelynek nincsenek lokális töréspontjai (azaz bármely pont összekapcsolt szomszédságában a halmaz össze van kötve), és nincsenek nem üres nyitott részhalmazai. beágyazható a síkba.
• A Menger-szivacs egy univerzális Uryson-görbe , vagyis bármilyen is legyen az Urysohn-görbe, a Menger-szivacsnak van egy részhalmaza, amely homeomorf .
• A Menger szivacs térfogata nulla, de az arcfelülete végtelen.
  • A térfogatot a 20/27 képlet határozza meg minden iterációhoz:

• A Menger-szivacs azon szakasza, amelyet egy kocka határol, amelynek oldala 1 és középpontja az origónál van, és egy síkkal határol hexagramokat .
• A Menger szivacs jól eloszlatja a lökéshullámokat. [3]

Lásd még

• Káoszelmélet
• Iterálható függvények rendszere

Jegyzetek

1. ↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Fraktál transzformációk // Fraktálok mint művészet. Cikkgyűjtemény / Per. angolul, franciául E. V. Nikolaeva. - Szentpétervár. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 p. — ISBN 9785040137008 .
2. ↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Sztochasztikus modellek hatványtörvény-farokkal: Az X = AX + B egyenlet . — Springer, 2016-07-04. — 325 p. - P. 7. - ISBN 9783319296791 .
3. ↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Lökéshullám-eloszlás interfész által dominált porózus struktúrák által  // AIP Advances. — 2020-07-01. - T. 10 , sz. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Az eredetiből archiválva : 2022. március 12.

Linkek

• Egy általánosított algoritmus fraktálok létrehozására a káosz módszerrel a Wolfram erőforráson
• Kód fraktálok építéséhez az AutoLISP káosz módszerével