Hausdorff dimenzió

A Hausdorff -dimenzió vagy a Hausdorff -dimenzió természetes módszer egy részhalmaz dimenziójának meghatározására egy metrikus térben . A Hausdorff - dimenzió megegyezik a szokásos dimenziófogalmainkkal, ha ezek a szokásos fogalmak léteznek. Például a háromdimenziós euklideszi térben egy véges halmaz Hausdorff-dimenziója nulla, a sima görbe mérete egy, a sima felületé kettő, a nem nulla térfogatú halmazé pedig három. Bonyolultabb (fraktál) halmazok esetén előfordulhat, hogy a Hausdorff-dimenzió nem egész szám.

Definíció

A Hausdorff-dimenzió meghatározása több lépésből áll. Legyen korlátos halmaz egy metrikus térben . $\Omega$ $x$

ε-borítások

Hadd . Legfeljebb egy tér részhalmazainak megszámlálható halmazát nevezzük a halmaz -coverének, ha a következő két tulajdonság teljesül: $\varepsilon >0$ $\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $x$ $\varepsilon$ $\Omega$

$\Omega \subset \bigcup _{{i\in I}}\omega _{i}$
bármely : (a továbbiakban a készlet átmérőjét jelenti ). $i\in I$ $|\omega _{i}|<\varepszilon$ $|\omega |$ $\omega$

Hausdorff α-mérték

Hadd . Legyen a készlet borítója . Határozzuk meg a következő függvényt, amely bizonyos értelemben ennek a lefedettségnek a "méretét" mutatja: . $\alpha >0$ $\Theta =\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $\Omega$ $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{{i\in I}}|\omega _{i}|^{\alpha }$

Jelöljük a halmaz „minimális méretű” -borítóival : , ahol az infimum a halmaz összes -borítóját átveszi . $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ ${\varepszilon }$ $\Omega$ $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$ $\varepsilon$ $\Omega$

Nyilvánvaló, hogy a függvény (nem szigorúan) csökkenésével növekszik , mivel a csökkentésével csak a lehetséges -coverek halmazát zsugorítjuk. Ezért véges vagy végtelen határa van : $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon \rightarrow 0+$

$M_{{\alpha }}(\Omega )=\lim \limits _{{\varepsilon \rightarrow 0+}}M_{{\alpha }}^({\varepszilon }}(\Omega )$ .

A mennyiséget a halmaz Hausdorff-mértékének nevezzük . $M_{{\alpha }}(\Omega)$ $\alpha$ $\Omega$

A Hausdorff α-mérték tulajdonságai

$\alpha$ -a Hausdorff-mérték Borel - mérték a . $x$
együtthatóval való szorzásig: a sima görbékre vonatkozó Hausdorff 1-mérték egybeesik azok hosszával; A Hausdorff 2-mérés sima felületekre egybeesik a területükkel; -a halmazok Hausdorff-mértéke egybeesik -dimenziós térfogatukkal. $d$ $\mathbb{R}^d$ $d$
$M_{{\alpha }}(\Omega)$ ben csökken . Ezenkívül minden halmazhoz létezik [1] [2] [3] egy kritikus érték , amely: $\alpha$ $\Omega$ $\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=+\infty$ mindenkinek $\alpha <\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=0$ mindenkinek $\alpha >\alpha _{0}$

Az érték lehet nulla, véges pozitív vagy végtelen. $M_{{\alpha _{0}}}(\Omega )$

A Hausdorff-dimenzió meghatározása

Egy halmaz Hausdorff-dimenziója az előző bekezdésben szereplő szám . $\dim _{H}\Omega$ $\Omega$ $\alpha _{0}$

Példák

Önhasonló halmazok esetén a Hausdorff-dimenzió kifejezetten kiszámítható. Informálisan szólva, ha egy halmazt az eredeti halmazhoz hasonló részekre osztunk együtthatókkal , akkor a dimenziója az egyenlet megoldása . Például, $n$ $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\pontok +r_{n}^{s}=1$

a Cantor halmaz mérete (két részre osztva, hasonlósági együttható 1/3), $\ln 2/\ln 3$
a Sierpinski-háromszög mérete - (3 részre osztva, hasonlósági együttható 1/2), $\ln 3/\ln 2$
a sárkánygörbe dimenziója - (2 részre osztva, hasonlósági együttható ). $2$ ${\sqrt {1/2))$

Tulajdonságok

Egyik halmaz Hausdorff-dimenziója sem haladja meg az alsó és felső Minkowski-méretet .
A halmazok legfeljebb egy megszámlálható uniójának Hausdorff-dimenziója egyenlő a méretük maximumával.
- Különösen, ha egy megszámlálható halmazt hozzáadunk bármely halmazhoz, az nem változtatja meg a dimenzióját.
Tetszőleges metrikus terekhez és a relációhoz $x$ $Y$ $\dim _{H}(X\x Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- Egyes párok esetében az egyenlőtlenség szigorú, sőt, egy ilyen pár választható a valós egyenes kompakt részhalmazaiból. [négy] $x$ $Y$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bizonyítás in Pertti Mattila, "Halmazok és mértékek geometriája az euklideszi terekben", 1995 - 4.7. Tétel
↑ (Springer) Matematikai enciklopédia - Hivatkozás Mattilára . Letöltve: 2015. augusztus 31. Az eredetiből archiválva : 2020. január 16. (határozatlan)
↑ Proof in Kenneth Falconer, "Fractal Geometry" (második kiadás), 2003 - 31. o.
↑ 7.8. példa: Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Matematikai alapok és alkalmazások . – John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Irodalom

Feder E. Fraktálok. - M .: MIR, 1991. - S. 254. - ISBN 5-03-001712-7 .

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika