Perkolációs elmélet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A perkolációs elmélet ( perkolációs elmélet vagy szivárgáselmélet) egy matematikai elmélet, amelyet a fizikában, kémiában és más területeken használnak az összefüggő struktúrák létrejöttének leírására egyedi elemekből álló véletlenszerű közegekben ( klaszterekben ).

A perkolációelmélet legegyszerűbb problémái diszkrét rácsokra vannak megfogalmazva . Meg van adva annak a valószínűsége (koncentrációja) , amellyel a rácscsomópont el lesz foglalva. Ennek megfelelően annak a valószínűsége, hogy a csomópont szabad lesz, egyenlő . A legegyszerűbb esetben minden csomópont függetlennek minősül, vagyis az egyik csomópont elfoglaltsága nem befolyásolja a többiek elfoglaltságát. Két csomópontot akkor tekintünk ugyanahhoz a klaszterhez tartozónak, ha szomszédos elfoglalt csomópontok folyamatos láncolatával összeköthetők. A paraméter értékének növekedésével egyre több csomópont lesz elfoglalva, és ennek eredményeként egyre nagyobb méretű klaszterek jelennek meg. Egy bizonyos kritikus értéknél egy szűkülő (perkolációs) klaszter jön létre a rendszerben, amely összeköti a rendszer egyik végét a másikkal - kritikus átmenet következik be, hasonlóan egy másodrendű fázisátmenethez . A probléma leírt megfogalmazása megfelel az úgynevezett csomóponti problémának . Meg lehet fogalmazni egy másik problémát, amelyben nagy valószínűséggel nem maguk a csomópontok lesznek elfoglalva, hanem a köztük lévő kapcsolatok - a kapcsolatok problémája. Ez a megközelítés lehetővé teszi a perkolációs elmélet apparátusának használatát számos területen, például porózus anyagok, vezetőképesség, polimerizáció, biológiai evolúció, galaxisképződés és sok más leírásában [1] . $p$ $1-p$ $p$ ${\displaystyle p=p_{c))$ $p$

Történelem

A matematikusok perkoláció jelensége iránti érdeklődésének története De Volson Wood professzor által javasolt problémából ered, amelyet 1894-ben publikáltak az American Mathematical Monthly -ben [2 ] :

A probléma tartalmi megfogalmazása. Egyenlő számú, azonos méretű fehér és fekete golyót dobunk egy téglalap alakú dobozba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a fehér golyók folyamatosan érintkeznek a doboz egyik végétől a másikig? Speciális példaként tegyük fel, hogy a doboz 30 golyó hosszú, 10 golyó széles és 5 (vagy 10) réteg mély.

Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] Egy konkrét eset a következőket sugallta: Egyenlő számú, azonos méretű fehér és fekete golyót dobunk egy téglalap alakú dobozba, mekkora a valószínűsége annak, hogy a doboz egyik végétől a másik végével összefüggően érintkeznek a fehér golyók. Speciális példaként tegyük fel, hogy 30 golyó van a doboz hosszában, 10 a szélességében és 5 (vagy 10) réteg mélyen.

A perkolációhoz kapcsolódó fizikai jelenségek leírásának szigorú matematikai alapot képezett Stanislav Smirnov , akit 2010 - ben Fields-díjjal tüntettek ki a statisztikai fizika lapos rácsmodellek területén végzett munkájáért , tíz éves munkája eredményeként . 3] [4] .

Leírás

A perkoláció (vagy közegáramlás ) jelenségét a következők határozzák meg:

A környezet, amelyben ez a jelenség megfigyelhető;
Külső forrás, amely áramlást biztosít ebben a környezetben;
A közeg áramlásának módja, amely külső forrástól függ.

Példa

A legegyszerűbb példaként egy áramlási modellt (például elektromos áttörést ) tekinthetünk egy kétdimenziós négyzetrácsban , amely olyan csomópontokból áll, amelyek vezetők vagy nem vezetők. A kezdeti pillanatban a rács összes csomópontja nem vezető. Idővel a forrás[ mi? ] a nem vezető csomópontokat vezető csomópontokra cseréli, és a vezető csomópontok száma fokozatosan növekszik. Ebben az esetben a csomópontok véletlenszerűen cserélődnek ki, vagyis bármelyik csomópont cserére való választása a rács teljes felületére egyformán valószínű.

A perkoláció az a pillanat, amikor megjelenik a rács olyan állapota, amelyben legalább egy folyamatos út van a szomszédos vezető csomópontokon keresztül az egyik éltől a másik élig. Nyilvánvaló, hogy a vezető csomópontok számának növekedésével ez a pillanat azelőtt következik be , hogy a rács teljes felülete [ pontosítás ] kizárólag vezető csomópontokból állna.

Jelöljük a csomópontok nem vezető és vezető állapotát nullákkal, illetve egyesekkel. Kétdimenziós esetben a közeg egy bináris mátrixnak felel meg. A mátrix nulláinak egyesekkel való helyettesítésének sorrendje megfelel a szivárgás forrásának.

A kezdeti pillanatban a mátrix teljes egészében nem vezető elemekből áll:

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

Ha külső forrásnak van kitéve, vezető elemeket kezdenek hozzáadni a mátrixhoz, de először nem elegendőek a perkolációhoz:

0	0	egy
egy	0	0
0	egy	0
0	egy	0

Ahogy a vezető csomópontok száma növekszik, eljön egy kritikus pillanat, amikor a perkoláció megtörténik, az alábbiak szerint:

0	0	0	egy
egy	egy	0	0
0	egy	egy	0
0	0	egy	egy

Látható, hogy az utolsó mátrix bal oldalától jobb oldali határáig egy olyan elemlánc található, amely biztosítja az áram áramlását az egymást folyamatosan követő vezető csomópontokon (egységeken) keresztül.

A perkoláció megfigyelhető mind a rácsokban, mind más geometriai struktúrákban, beleértve a folytonosakat is, amelyek nagyszámú hasonló elemből vagy folytonos régióból állnak, amelyek két állapotúak lehetnek. A megfelelő matematikai modelleket rácsnak vagy kontinuumnak nevezzük.

A folytonos közegben történő átszivárgásra példa lehet a folyadék áthaladása egy terjedelmes, porózus mintán (például víz egy habzó anyagból készült szivacson), amelyben a buborékok fokozatosan felfújódnak, amíg méretük elegendő ahhoz, hogy a folyadék átszivárogjon. a minta egyik szélétől a másikig.

Induktív módon a perkoláció fogalma átkerül minden olyan szerkezetre vagy anyagra, amelyet perkolációs közegnek nevezünk, amelyhez külső szivárgásforrást kell meghatározni, amelynek áramlási módja és elemei (töredékei) különböző állapotúak lehetnek, egy amelyek közül (elsődleges) nem elégíti ki ezt az átjárási módot.a másik pedig kielégíti. Az áramlás módszere magában foglalja az elemek bizonyos előfordulási sorrendjét vagy a környezet töredékeinek az áramláshoz szükséges állapotba történő változását is, amelyet a forrás biztosít. A forrás viszont fokozatosan viszi át a minta elemeit vagy töredékeit egyik állapotból a másikba, egészen addig, amíg el nem érkezik a szivárgás pillanata.

Perkolációs küszöb

Az elemek azon halmazát, amelyen keresztül az áramlás megtörténik, perkolációs klaszternek nevezzük . Mivel természeténél fogva egy összefüggő véletlen gráf , az adott megvalósítástól függően eltérő alakú lehet. Ezért általános méretét szokás jellemezni. A szivárgási küszöb az a minimális koncentráció, amelynél a szivárgás előfordul.

A környezet elemeinek kapcsolási állapotainak véletlenszerűsége miatt a végső rendszerben nincs egyértelműen meghatározott küszöb (a kritikus klaszter mérete), hanem van egy ún. kritikus értéktartomány, amelybe a beszivárgás történik a különféle véletlenszerű megvalósítások eredményeként kapott küszöbértékek csökkennek. A rendszer méretének növekedésével a régió egy pontra szűkül. Végtelen rendszerek esetén ez valamilyen fix értékkel egyenlő: mindegyik esetén nincs összehúzódó klaszter a rendszerben, mert mindig jelen van. A kritikus koncentráció analitikai számítása azonban csak korlátozott számú rácskonfiguráció esetén lehetséges. Például egydimenziós esetben (a rács végtelen csomópontok láncolata) , a Bethe-rács esetében, ahol z a koordinációs szám . Más esetekben nagy véges rácsokon szoftveres szimuláción alapuló numerikus számítás lehetséges. $p_{c}$ ${\displaystyle p<p_{c))$ $p>p_{c}$ $p_{c}=1$ $p_{c}=1/(z-1)$

A kritikus ponton a rendszer számos fontos jellemzője (például a korrelációs hossz, az átlagos klaszterméret, a szűkítő klaszter hatványa stb.) szinguláris , a közel kritikus tartományban pedig a hatványtörvények szabályozzák őket. az űrlapot . A kritikus kitevők különböző mennyiségekhez hasonlóan működnek . Az univerzalitás törvényéből következik, hogy ezek az indexek csak a perkolációs modell típusától és a tér méretétől függenek, és nem függenek a rács geometriájától. Ugyanezek a csomópont- és linkproblémák esetében is. ${\displaystyle p=p_{c))$ $|p-p_{c}|^{x}$ $x$

Jegyzetek

↑ M. Sahini, M. Sahimi. A perkolációs elmélet alkalmazásai . — London: CRC Press, 2014.04.21. — 276 p. — ISBN 978-0-429-08044-9 . Archiválva 2021. december 21-én a Wayback Machine -nél
↑ Problémák // American Mathematical Monthly : folyóirat . - 1894. - Kt. 1 , sz. 3 . — 99. o . - doi : 10.2307/2971675 . Archiválva az eredetiből 2021. augusztus 23-án.
↑ Vissza a jövőbe: A 100 éves AMM probléma a perkolációs elmélet legkorábbi tippje lehetett , Mathematical Association of America (2010. augusztus 25.). Az eredetiből archiválva: 2016. november 5. Letöltve: 2016. november 5.
↑ Rajendra Bhatia. A Matematikusok Nemzetközi Kongresszusának anyaga: Hyderabad, 2010. augusztus 19-27 . — World Scientific, 2011-06-06. - S. 73-84. — 814 p. — ISBN 978-981-4324-35-9 . Archiválva 2021. augusztus 23-án a Wayback Machine -nél

Lásd még

Kohérer

Irodalom

Tarasevich Yu. Yu. Perkoláció: elmélet, alkalmazások, algoritmusok: Tankönyv - Moszkva: Editorial URSS, 2002. - 112 p.
Smirnov S. A modern matematikáról és tanításáról // Kvant , 2011, 2. sz., p. 11-18.
Kesten H. Perkolációs elmélet matematikusoknak. - Boston: Birkhauser, 1982. (Orosz fordítás: Kesten X. Perkolációs elmélet matematikusoknak. - M .: Mir, 1986. - 392 p.)
D. Stauffer és A. Aharony, Bevezetés a perkolációs elméletbe, Taylor és Fransis, London, 1994.
B. I. Shklovsky, A. L. Efros, Adalékolt félvezetők elektronikus tulajdonságai, 5. fejezet. M .: Nauka, 1979.
A. Bunde, S. Havlin, Percolation I (pp. 51-95), Percolation II (pp. 97-149), in: Fractals and disordered systems, eds. A. Bunde, S. Havlin, Springer, Berlin, 1996.
VKSShante és S. Kirkpatrick, Adv. Phys. 20, 325 (1971)].
S. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973)].
Efros A. L. A rendezetlenség fizika és geometriája . — M .: Nauka , 1982. — 176 p. - ( "Kvantum" könyvtár ). — 150.000 példány.

Linkek

Rácscsomópontok nyitásának szimulációja (elektromos áramvezető) Archiválva : 2019. május 5. a Wayback Machine -nél

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon