Algebrai görbe

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Az algebrai görbe vagy egy síkbeli algebrai görbe egy kétváltozós polinom nullák halmazának egy síkra pontként történő leképezésének eredménye. Egy adott polinom fokszámát egy algebrai görbe fokának vagy sorrendjének nevezzük. Az ilyen görbéket az elsőtől a nyolcadik fokig egyenesnek , kúposnak , kockának , kvartikának, pentikának, szexinek, szeptikusnak, oktikának nevezzük. Például az egységkör egy kúp, egy másodfokú algebrai görbe. Ezt az x 2 + y 2 = 1 egyenlet adja meg, ahol az x 2 + y 2 − 1 [1] polinom foka kettő.

Számos technikai ok miatt célszerű nem csak a valós, hanem a megfelelő polinom komplex gyökét is figyelembe venni, és a definíciót általánosítani egy tetszőleges bázismező esetére is .

Az algebrai geometriában a k mező feletti síkbeli affin algebrai görbe azon K 2 pontok halmazaként van definiálva, amelyek egy polinom gyökei két változóban, k együtthatókkal , ahol K a k mező algebrai lezárása . Ennek a görbének azokat a pontjait, amelyek koordinátái k -ban vannak, k -pontoknak nevezzük . Például egy pont a fent vizsgált egységkörhöz tartozik, de nem tartozik a valós részéhez. Az x 2 + y 2 + 1 polinom olyan algebrai görbét határoz meg , amelynek valós része üres . $(2,{\sqrt {-3}})$

Általánosabban olyan algebrai görbéket tekinthetünk, amelyek nem egy síkban, hanem egy nagy dimenziójú térben vagy egy projektív térben találhatók . Kiderült, hogy az algebrai görbe számos tulajdonsága nem függ egy adott térbe való beágyazás megválasztásától, ami az algebrai görbe általános definíciójához vezet: Az algebrai görbe az 1. dimenzió algebrai változata . a következőképpen fogalmazzuk meg: az algebrai görbe egy algebrai változat, minden algebrai részváltozat, amely egy pontból áll.

Példák algebrai görbékre

Racionális görbék

A racionális görbe , más néven unikurzális görbe , olyan görbe, amely biracionálisan egyenértékű egy affin vonallal (vagy projektív vonallal ); más szóval egy görbe, amely racionális paraméterezést tesz lehetővé.

Pontosabban, egy n - dimenziós térben lévő racionális görbe paraméterezhető (bizonyos számú izolált "szinguláris pont" kivételével) egyetlen t paraméter n racionális függvényével .

A legalább egy racionális pontot tartalmazó racionális számok mezője feletti bármely kúpszelet racionális görbe [2] . Paraméterezhető úgy, hogy egy racionális ponton egy tetszőleges t meredekségű egyenest húzunk, és ehhez t rendeljük az egyenes és a kúp második metszéspontját (kettőnél nem lehet több).

Például vegyünk egy x 2 + xy + y 2 = 1 ellipszist egy racionális ponttal (−1, 0). Ha egy egyenest húzunk rajta keresztül y = t ( x + 1) , az y -n keresztül x kifejezést behelyettesítve az egyenletbe és megoldjuk x -et , megkapjuk az egyenleteket

x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},

y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,

az ellipszis racionális paraméterezésének meghatározása. Az ellipszis minden pontja ábrázolható ebben a formában, kivéve a pontot (−1, 0); hozzárendelhetjük t = ∞ értéket , azaz paraméterezhetjük a projektív egyenes ellipszisét.

Ez a racionális paraméterezés felfogható az „ellipszis a projektív térben ” paraméterezéseként, amely homogén koordinátákra megy át , azaz t-t T / U - ra , x , y -t pedig X / Z , Y / Z - re cseréli. A projektív egyenes X 2 + XY + Y 2 = Z 2 ellipszisének paraméterezése a következő formában történik:

X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.

Elliptikus görbék

A racionális görbék (algebrailag zárt mező felett) pontosan a 0 nemzetség algebrai görbéi (lásd alább ), ebben a terminológiában az elliptikus görbék az 1. nemzetség görbéi racionális ponttal. Bármely ilyen görbe szingularitások nélkül ábrázolható kockaként .

Az elliptikus görbe egy Abel-csoport szerkezetét hordozza . A kockán lévő három pont összege akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a pontok egyvonalasak .

Két kúp metszéspontja az 1. nemzetség negyedrendű görbéje, tehát elliptikus görbe, ha legalább egy racionális pontot tartalmaz. Ellenkező esetben a metszéspont lehet egy racionális negyedrendű görbe szingularitásokkal, vagy felbontható kisebb rendű görbékre (egy köb és egy egyenes, két kúp, egy kúp és két egyenes vagy négy egyenes).

Kapcsolat a függvénymezőkkel

Az algebrai görbék tanulmányozása visszavezethető az irreducibilis görbék (vagyis azoké, amelyek nem tágulnak két kisebb görbe egyesülésére) vizsgálatára. Minden ilyen görbéhez hozzárendelhető a racionális függvények mezeje ; kiderül, hogy a görbék akkor és csak akkor biracionálisan ekvivalensek, ha a függvénymezőik izomorfak. Ez azt jelenti, hogy az algebrai görbék és racionális leképezések kategóriája kettős az algebrai függvények egydimenziós mezőinek kategóriájával, vagyis olyan mezőkkel, amelyek a mező algebrai kiterjesztései . $k(x)$

Komplex görbék valós felületként

Egy affin vagy projektív térbe ágyazott összetett algebrai görbe topológiai dimenziója 2, más szóval egy felület . A szingularitások nélküli összetett algebrai görbe egy kétdimenziós orientálható sokaság .

Ennek a felületnek a topológiai nemzetsége megegyezik az algebrai görbe genusával (amely algebrai módszerekkel számítható). Ha egy szingularitás nélküli görbe síkra vetítése egy d fokú algebrai görbe a legegyszerűbb szingularitásokkal ( közönséges kettős pontok ), akkor az eredeti görbe ( d − 1)( d − 2)/2 − k nemzetségbe tartozik , ahol k ezeknek a szingularitásoknak a száma.

A kompakt Riemann-felületek vizsgálata valójában szingularitások nélküli komplex algebrai görbék vizsgálatából áll, amelyeket további analitikus szerkezetű felületeknek tekintünk. Pontosabban, a következő kategóriák egyenértékűek :

Projektív algebrai görbék kategóriája szingularitások nélkül (racionális leképezésekkel, mint morfizmusokkal).
A kompakt Riemann felületek és holomorf függvények kategóriája .

Jellemzők osztályozása

A szinguláris pontok több olyan ponttípust foglalnak magukban, ahol a görbe „keresztezi önmagát”, valamint különböző típusú csúcsokat . Például az ábra egy x 3 − y 2 = 0 görbét mutat be, amelynek origója csúcspontja van.

A szinguláris pontokat invariánsaik szerint osztályozhatjuk . Például egy szinguláris pont delta-invariáns δ-vel intuitív módon olyan pontként írható le, ahol a δ „önmetszéspontjai” egyszerre találkoznak. Egy irreducibilis görbe P pontja esetén a δ a modulus hosszaként számítható ki , ahol a P pontban lévő lokális gyűrű és annak egész zárása . Az összes szinguláris pont delta invariánsának kiszámítása lehetővé teszi a görbe nemzetségének kiszámítását a következő képlettel: $\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}/{\mathcal {O}}_{P}$ ${\mathcal {O}}_{P}$ $\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}$

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},

További fontos invariánsok a szingularitás m multiplicitása (az a maximális egész szám, hogy a görbét meghatározó polinom összes deriváltja , amelynek sorrendje nem haladja meg m , nullával egyenlő) és a Milnor-szám .

Lásd még

Kategória Algebrai görbék

Jegyzetek

↑ Egy ekvivalens transzformációt végeztünk: x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 - 1 = 0 .
↑ Yu. I. Manin. Racionális pontok algebrai görbéken. — Advances in Mathematical Sciences, XIX. 6 (120), 1964.

Irodalom

J.-P. Serr . Algebrai csoportok és osztálymezők. — M .: Mir, 1968. — 285 p.
John Milnor . Komplex hiperfelületek szinguláris pontjai. - M . : Mir, 1971. - 121 p.
Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Sík algebrai görbék. – Birkhauser, 1986.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann felületek. — Springer, 1980.
W. Fulton . Algebrai görbék: bevezetés az algebrai geometriába .
CG Gibson. Az algebrai görbék elemi geometriája: egyetemi bevezetés. – Cambridge University Press, 1998.
speciális lapos görbék [1] Archivált : 2018. június 21. a Wayback Machine -nél (orosz)