Ellipszis

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Ellipszis ( más görög ἔλλειψις "kihagyás; hiánya, hiánya ( az excentricitás 1-ig)") - zárt görbe egy síkon, amely egy sík és egy körhenger metszéspontjaként vagy egy kör merőleges vetületeként érhető el egy repülőre .

A kör az ellipszis speciális esete. A hiperbolával és parabolával együtt az ellipszis egy kúpszelet és egy négyzet .

Definíció

Ellipszis - az euklideszi sík M pontjainak lokusza , amelyre két adott pont távolságának összege és (úgynevezett gócok ) állandó és nagyobb, mint a fókuszpontok távolsága, azaz $F_{1}$ $F_{2}$

|F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a

, ráadásul

|F_{1}F_{2}|<2\cdot a.

Egyéb meghatározások

Az ellipszis a következőképpen is meghatározható:

körből affin transzformáció alkalmazásával előállítható ábra
kör merőleges vetítése síkra
sík és körhenger metszéspontja .

Kapcsolódó definíciók

Az ellipszis fókuszpontjain áthaladó AB szakaszt, amelynek végei az ellipszisen helyezkednek el, az ellipszis főtengelyének nevezzük . A nagytengely hossza a fenti egyenletben 2 a .
Az ellipszis főtengelyére merőleges, a főtengely középpontján átmenő CD szakaszt , amelynek végei az ellipszisen helyezkednek el, az ellipszis kistengelyének nevezzük .
Az ellipszis nagy- és kistengelyének metszéspontját középpontjának nevezzük .
Az ellipszis középpontjától a fő- és melléktengely csúcsaiig húzott szakaszokat az ellipszis nagy- és kis-féltengelyének nevezzük, és a - val és b - vel jelöljük .
Az egyes fókuszpontoktól az ellipszis egy adott pontjáig mért távolságát fókuszsugárnak nevezzük . $r_{1}$ $r_{2}$
A távolságot gyújtótávolságnak nevezzük . $c={\frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$
A mennyiséget excentricitásnak nevezzük . $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
Az ellipszis átmérője egy tetszőleges húr, amely áthalad a középpontján. Az ellipszis konjugált átmérői egy olyan átmérőpár, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: az első átmérővel párhuzamos húrok felezőpontjai a második átmérőn helyezkednek el. Ebben az esetben a második átmérővel párhuzamos húrok felezőpontjai is az első átmérőn fekszenek.
Az ellipszis sugara egy adott pontban az ellipszis középpontját a ponttal összekötő szakasz, valamint a hossza, amelyet a képlettel számítunk ki , ahol a sugár és a fél-főtengely közötti szög. $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$
A fókuszparaméter a fókuszon áthaladó és az ellipszis főtengelyére merőleges húrhossz fele . $p={\frac {b^{2}}{a}}$
A kis- és nagy féltengelyek hosszának arányát ellipszis - sűrítési aránynak vagy ellipticitásnak nevezzük . Az egyenlő értéket az ellipszis összehúzódásának nevezzük . Egy kör esetén a tömörítési tényező egy, a tömörítés nulla. A kompressziós arány és az ellipszis excentricitása összefügg a kapcsolattal $k={\frac {b}{a}}$ $(1-k)={\frac {ab}{a}},$ $k^{2}=1-e^{2}.$
Mindegyik fókuszhoz van egy egyenes vonal, az úgynevezett direktrix , úgy, hogy az ellipszis tetszőleges pontja és a fókusz közötti távolság és az ettől a ponttól az adott egyeneshez mért távolság aránya egyenlő az ellipszis excentricitásával . Az egész ellipszis egy ilyen egyenes vonalnak ugyanazon az oldalán fekszik, mint a fókusz. A kanonikus formájú ellipszis direktrix egyenletei ugyanúgy vannak felírva, mint a gócokra , ill. A fókusz és az irányító közötti távolság a . $x=\pm {\frac {p}{e\left(1-e^{2}\right)))$ $\left(\pm {\frac {pe}{1-e^{2}}},\,0\right)$ ${\frac {p}{e}}$

Ellipszis elemei közötti kapcsolatok

${\bold symbol {a}}$ - egy nagy féltengely;
${\bold symbol {b))$ - kisebb féltengely;
${\bold symbol {c}}$ - gyújtótávolság (féltávolság a gócok között);
${\bold symbol {p}}$ — fókuszparaméter;
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokális távolság (a minimális távolság a fókusztól az ellipszis egy pontjáig);
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofókusz távolság (maximális távolság a fókusztól az ellipszis egy pontjáig);

$a^{2}=b^{2}+c^{2};$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0 \leqslant e<1);$

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

	${\bold symbol {a}}$	${\bold symbol {b))$	${\bold symbol {c}}$	${\bold symbol {p}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{p))))$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{a))))$
${\bold symbol {a}}$ - nagy féltengely	${\bold symbol {a}}$	$a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2))))$	$a={\frac {c}{e}}$	${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2))))$	$a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
${\bold symbol {b))$ - kisebb tengely	${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {b))$	$b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2)))){e}}$	$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\displaystyle b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	${\displaystyle b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$
${\bold symbol {c}}$ - gyújtótávolság	$c=ae$	$c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {c}}$	${\displaystyle c={\frac {pe}{1-e^{2))))$	$c={\frac {r_{p}e}{1-e))$	$c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
${\bold symbol {p}}$ — fókuszparaméter	$p=a(1-e^{2})$	${\displaystyle p=b~{\sqrt {1-e^{2))))$	$p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	${\bold symbol {p}}$	$p=r_{p}(1+e)$	$p=r_{a}(1-e)$
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokális távolság	$r_{p}=a(1-e)$	${\displaystyle r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$	$r_{p}=c~{\frac {1-e}{e))$	$r_{p}={\frac {p}{1+e))$	${\boldsymbol {r}}_{p}$	$r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e))$
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofókusz távolság	$r_{a}=a(1+e)$	${\displaystyle r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	$r_{a}=c~{\frac {1+e}{e))$	$r_{a}={\frac {p}{1-e))$	$r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e))$	${\boldsymbol {r}}_{a}$

Koordináta ábrázolás

Ellipszis mint másodrendű görbe

Az ellipszis egy központi, nem degenerált másodrendű görbe, és kielégíti a forma általános egyenletét

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

invariánsokkal és , ahol : $D>0$ $\Delta I<0$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\ end{vmatrix}},

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} ,

I=\operátornév {tr} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22} .

A másodrendű görbe invariánsai és az ellipszis féltengelyei közötti kapcsolatok (csak akkor érvényes, ha az ellipszis középpontja egybeesik az origóval és ): $a_{{33}}=-1$

\Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Arányok

Ha az általános egyenletet így írjuk át

AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,

akkor az ellipszis középpontjának koordinátái:

h={\frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={\frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},

kifejezésből határozzuk meg a forgásszöget

tg(2\Theta )={\frac {B}{AC}}.

Tengelyvektor irányok:

{\begin{pmatrix}B&(C-A+{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))})\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}B&( CA -{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2}}})\end{pmatrix}},

innen

\operatorname {tg} \Theta ={\frac {CA\pm {\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))){B)).

A féltengelyek hosszát a kifejezések határozzák meg

a={\sqrt {\frac {2F'({\sqrt {(AC)^{2}+B^{2))}+A+C)}{4AC-B^{2))} },

b={\sqrt {{\frac {2F'}{{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}

Az inverz összefüggést - az általános egyenlet együtthatóit az ellipszis paramétereiből - úgy kaphatjuk meg, hogy a kanonikus egyenletbe behelyettesítjük (lásd lentebb) a koordinátarendszer Θ szöggel történő elforgatásának kifejezését, és átvisszük a pontba : $(x_{c},\,y_{c})$

{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,

x'=(x-x_{c})\cos \Theta +(y-y_{c})\sin \Theta ,

y'=-(x-x_{c})\sin \Theta +(y-y_{c})\cos \Theta .

A zárójelek helyettesítésével és bővítésével az általános egyenlet együtthatóira a következő kifejezéseket kapjuk:

A=a^{2}\sin ^{2}\Theta +b^{2}\cos ^{2}\Theta ,

B=2(b^{2}-a^{2})\sin \Theta \cos \Theta ,

C=a^{2}\cos ^{2}\Theta +b^{2}\sin ^{2}\Theta ,

D=-2Ax_{c}-By_{c},

E=-Bx_{c}-2Cy_{c},

F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.

Ha csak a szöget adja meg, és az ellipszis középpontját az origóban hagyja, akkor

D=0,

E=0,

F=-a^{2}b^{2}.

Megjegyzendő, hogy a derékszögű koordinátarendszerben adott ellipszis általános alakjának egyenletében az együtthatók (vagy ami ugyanaz, ) egy tetszőleges állandó tényezőig vannak definiálva, vagyis a fenti jelölés, ill. $A,B,C,D,E,F$ ${\displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33))$

AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,

hol egyenértékűek. Nem várható el, hogy a kifejezés $k\neq 0,$

1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck

bármelyik esetén végrehajtják . $k$

Az invariáns és a féltengelyek közötti kapcsolat általánosságban a következő: $én$

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+C}{F\cdot (A\cdot h ^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)))={\frac {I}{F')),

hol van az együttható , amikor a koordináták origóját az ellipszis középpontjába mozgatjuk, amikor az egyenletet a formára redukáljuk $F'=F\cdot (A\cdot h^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)$ $F$

AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.

A többi invariáns a következő relációkban található:

-{\frac {\Delta }{F'^{3}}}={\frac {D}{F'^{2}}}={\frac {1}{a^{2}} }{\frac {1}{b^{2}}}.

Kanonikus egyenlet

Bármely ellipszishez találhat egy derékszögű koordináta-rendszert , amelyben az ellipszist a következő egyenlet írja le:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Ezt az egyenletet az ellipszis kanonikus egyenletének nevezik. Egy origó középpontú ellipszist ír le, amelynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel [Comm. 1] .

Arányok

A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy Ebben az esetben a és mennyiségek az ellipszis nagy- és kisféltengelyei. $0<b\leqslant a.$ $a$ $b$

Az ellipszis féltengelyeinek ismeretében kiszámíthatjuk:

gyújtótávolságát és excentricitását $\left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\ sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,$
ellipszis fókusz koordinátáit $\left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right).$

Az ellipszisnek két irányvonala van, amelyek egyenletei így írhatók fel

x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.

A fókuszparaméter (azaz a fókuszon áthaladó és az ellipszis tengelyére merőleges húrhossz fele)

p={\frac {b^{2}}{a}}.

Fókuszsugarak, azaz a fókuszpontok és a görbe tetszőleges pontjai közötti távolságok : $\left(x,\,y\jobb)$

r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.

Az átmérő konjugált és a meredekségű húrok egyenlete : $k$

y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.

Az ellipszis egy pontban lévő érintőjének egyenlete : $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Az egyenes és az ellipszis közötti érintési feltételt relációként írjuk fel $y=mx+k$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.$

A ponton átmenő érintők egyenlete : $\left(x_1, y_1\right)$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{ 1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}} }.

Adott meredekségű érintők egyenlete : $k$

y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2))},

Az ellipszis egy ilyen egyenesének érintőpontjai (vagy ami ugyanaz, az ellipszis azon pontjai, ahol az érintőnek az érintővel egyenlő szöge van ): $k$

x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2 }}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.

Normál egyenlet egy pontban $\left(x_{1},y_{1}\right):$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.

Egyenletek parametrikus formában

Az ellipszis kanonikus egyenlete paraméterezhető:

{\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

hol van egy paraméter. $t$

Csak kör esetén (vagyis pontban ) a paraméter az x tengely pozitív iránya és az adott pont sugárvektora közötti szög . $a=b$ $t$

Poláris koordinátákban

Ha az ellipszis fókuszát pólusnak, a nagytengelyt pedig poláris tengelynek vesszük, akkor az egyenlete poláris koordinátákban így fog kinézni $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi )),

ahol e az excentricitás és p a fókuszparaméter. A mínusz jel a poláris koordináták pólusának bal oldali fókuszba helyezésének, a pluszjelnek pedig a jobb fókuszba helyezésének felel meg.

Az egyenlet levezetése

Legyen r 1 és r 2 az ellipszis adott pontjának távolsága az első és a második fókusztól. Legyen a koordináta-rendszer pólusa is az első fókuszban, és legyen mérve a szög az iránytól a második fókuszig. Ekkor az ellipszis definíciójából következik, hogy $\varphi$

r_{1}+r_{2}=2a

Innen . Másrészt a koszinusztételből ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2))$

r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .

Az utolsó két egyenletből kihagyva azt kapjuk $r_{2}$

r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{ac\cos \varphi }}={\frac {a(1-c^{2}/a^{ 2})}{1-c/a\cos \varphi }}.

Ezt figyelembe véve és , megkapjuk a szükséges egyenletet. $p=a(1-e^{2})$ $e=\frac{c}{a}$

Ha az ellipszis középpontját vesszük pólusnak, a nagytengelyt pedig poláris tengelynek, akkor az egyenlete a poláris koordinátákban így fog kinézni $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi ))}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^ {2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.

Egy ellipszis ívhossza

A lapos vonal ívének hosszát a következő képlet határozza meg:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\ frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.

Az ellipszis parametrikus ábrázolásával a következő kifejezést kapjuk:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t} }\,dt.

A csere után az ívhossz kifejezés végleges formát ölt: $b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\jobb)$

l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\ ;e<1.

Az így kapott integrál az elliptikus integrálok családjába tartozik , amelyek nem elemi függvényekben fejeződnek ki, és egy második típusú elliptikus integrállá redukálódnak . Különösen az ellipszis kerülete: $E\bal(t,e\jobb)$

l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),

hol van a második típusú teljes elliptikus integrál . $E\bal(e\jobb)$

Hozzávetőleges képletek a kerülethez

$L\approx 4{\frac {\pi ab+(ab)^{2}}{a+b}}.$

Ennek a képletnek a maximális hibája az ellipszis excentricitására (a tengelyek aránya ). A hiba mindig pozitív. $\approx 0{,}63\ \%$ $\approx 0{,}988$ $\approx 1/6{,}5$

Körülbelül kétszer kisebb hibák az excentricitások széles tartományában a következő képlettel adhatók meg : $L\kb. 4\cpont \left(a^{x}+b^{x}\jobbra)^{\bal(1/x\jobb)}$ $x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2))))$ $\approx 0{,}36\ \%$ $\approx 0{,}980$ $\kb. 1/5$

A lényegesen jobb pontosságot a Ramanujan formula biztosítja : $0{,}05<a/b<20$ $L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right].$

Az ellipszis excentricitásával (a tengelyek arányával ) a hiba . A hiba mindig negatív. $\approx 0{,}980$ $\kb. 1/5$ $\approx 0{,}02\ \%$

Ramanujan második képlete még pontosabbnak bizonyult: $L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}{10+{ \sqrt {4-3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}}}}\jobbra].$

Pontos képletek a kerülethez

James Ivory [1] és Friedrich Bessel [2] egymástól függetlenül kapott egy képletet az ellipszis kerületére:

L=\pi (a+b)\left[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n) -1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {ab}{a+b}}\jobbra)^{n}\jobbra]^{2}\jobbra].

Alternatív képlet

L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2))})))),

ahol a számtani-geometriai átlag 1 és , valamint a módosított számtani-geometriai átlag 1 és , amelyet S. F. Adlai vezetett be egy 2012-es cikkében [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Egy ellipszis területe és szakasza

Az ellipszis területét a képlet számítja ki

S=\pi ab.

A balra konvex ív és a pontokon átmenő függőleges húr közötti szakasz területe a [4] képlettel határozható meg : $\left(x,\,y\jobb)$ $\left(x,\,-y\right),$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\jobbra).

Ha az ellipszist az egyenlet adja meg , akkor a terület a képlettel határozható meg $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$

S={\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2)))).

Egyéb tulajdonságok

Optikai
- Az egyik fókuszban elhelyezkedő forrásból származó fény ellipszisben verődik vissza, így a visszavert sugarak a második fókuszban metszik egymást.
- A fókuszon kívül eső forrásból származó fény ellipszisben verődik vissza, így a visszavert sugarak egyik fókuszban sem metszik egymást.
Ha és az ellipszis fókuszpontjai, akkor az ellipszishez tartozó bármely X pontban az ebben a pontban lévő érintő és az egyenes közötti szög egyenlő az érintő és az egyenes közötti szöggel . $F_{1}$ $F_{2}$ $(F_{1}X)$ $(F_{2}X)$
Az ellipszist metsző két párhuzamos egyenes által levágott szakaszok felezőpontjain át húzott egyenes mindig átmegy az ellipszis középpontján. Ez lehetővé teszi , hogy az iránytűvel és egyenes éllel építve könnyen megkapjuk az ellipszis középpontját, majd később a tengelyeket, csúcsokat és fókuszokat.
- Egyenértékű megfogalmazás: az ellipszis bármely két párhuzamos húrjának felezőpontján áthalad az ellipszis bizonyos átmérője. Viszont az ellipszis bármely átmérője mindig áthalad az ellipszis közepén.
Az ellipszis evolúciója egy asztroid , amely a függőleges tengely mentén húzódik.
Az ellipszis és a tengelyek metszéspontjai annak csúcsai .
Az ellipszis excentricitása , vagyis az arány jellemzi az ellipszis nyúlását. Minél közelebb van az excentricitás a nullához, az ellipszis annál inkább hasonlít egy körhöz, és fordítva, minél közelebb van az excentricitás az egységhez, annál megnyúltabb. $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}\;\;\;(0\leqslant e <1),$
- Ha az ellipszis excentricitása nulla (ami megegyezik a gyújtótávolság nullával: ), akkor az ellipszis körré degenerálódik . $F_{1}F_{2}=0$
Extrém tulajdonságok [5]
- Ha egy konvex alak, és egy maximális területű -gonba van beírva , akkor $F$ $T_{n}$ $F$ $n$ $S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{2\cdot \pi }}{\sin(2\cdot \pi /n)},$

ahol az ábra területét jelöli .

S(F)

F

Ráadásul az egyenlőség akkor és csak akkor valósul meg, ha ellipszis határolja. $F$

Az adott területet határoló konvex zárt görbék közül az ellipszisek és csak ezek rendelkeznek a maximális affin hosszúsággal .

Ha egy tetszőleges ellipszis van beírva az ABC háromszögbe, és P és Q fókusza van , akkor a [6] összefüggés igaz rá:

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Ha egy létra (egy végtelenül vékony vonalszakasz) egy vízszintes padlójú függőleges falhoz támaszkodik, és a létra egyik vége a fal mentén csúszik (mindig érintve), a létra másik vége pedig a padlón ( állandóan érintve), akkor a létra bármely rögzített pontja (nem a végeinél) egy ellipszis íve mentén mozog. Ez a tulajdonság akkor is igaz, ha nem a létraszegmensen belül, hanem annak elképzelhető meghosszabbításán veszünk egy pontot. Az utolsó tulajdonságot a fent leírt ellipszográf használja .

Az ellipszishez tartozó ponton áthaladó érintőnek a következő egyenlete van: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Ellipszis építése

Az ellipszis rajzolásának eszközei:

trammel
két tűt szúrtak az ellipszis gócába, és egy 2 a hosszúságú fonallal kötik össze , amelyet ceruzával húznak. A módszert James Maxwell találta ki 14 évesen, és amikor apja megkérdezte az Edinburgh-i Királyi Társaságtól, kiderült, hogy korábban ismeretlen volt [7] .

Iránytű vagy iránytű és egyenes él segítségével tetszőleges számú ellipszishez tartozó pontot megszerkeszthet, de nem a teljes ellipszist.

Háromszöggel társított ellipszisek

Brokar ellipszise – ellipszis, melynek gócai a Brocard pontjainál vannak
Ellipszis Mandart
Ellipszis Steiner

Lásd még

Megjegyzések

↑ Ha a jobb oldalon van egy mínusz előjelű egység, akkor a kapott egyenlet ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$ képzeletbeli ellipszist ír le, nincs pontja a valós síkon.

Jegyzetek

↑ Ivory J. Új sorozat az ellipszis kiegyenlítésére // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. - 1798. - Kt. 4 . - 177-190 . o . - doi : 10.1017/s0080456800030817 .
↑ Bessel FW Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (német) // Astron. Nachr. . - 1825. - Bd. 4 . - S. 241-254 . - doi : 10.1002/asna.18260041601 . - . Angolul lefordítva: Bessel FW A földrajzi hosszúság és szélesség számítása geodéziai mérésekből (1825 ) // Astron. Nachr. . - 2010. - 20. évf. 331 . - P. 852-861 . - doi : 10.1002/asna.201011352 . - arXiv : 0908.1824 .
↑ Adlaj S. Egy ellipszis kerületének beszédes képlete // Az AMS közleményei . - 2012. - Kt. 76 , iss. 8 . - P. 1094-1099 . - doi : 10.1090/noti879 .
↑ Korn, 1978 , p. 68.
↑ Feyesh Toth L. II. fejezet, 4., 6. § // Elrendezések a síkon, a gömbön és a térben . - M. : Fizmatgiz, 1958. - 364 p. (Orosz)
↑ Allaire PR, Zhou J., Yao H. A tizenkilencedik századi ellipszis azonosságának bizonyítása // Mathematical Gazette. - 2012. - Kt. 96 , sz. 535 . - 161-165 . o .
↑ Karcev V. P. Maxwell. - M .: Ifjú gárda, 1974. ("Jelentős emberek élete" sorozat). 26-28.o.

Irodalom

Korn G., Korn T. Körök, ellipszisek, hiperbolák és parabolák tulajdonságai // Matematika kézikönyve. - 4. kiadás. - M . : Nauka, 1978. - S. 70-73.
Selivanov D. F. Ellipse // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
A. V. Akopjan, A. A. Zaslavsky Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai, - M.: MTSNMO , 2007. - 136 p.
I. Bronstein . Ellipszis // Kvant , 1970. 9. szám.
A. I. Markusevich. Figyelemre méltó görbék // " Népszerű előadások a matematikáról ", 4. szám.

Linkek

S. Sykora, Ellipszis kerületek és a teljes elliptikus integrál E(x) közelítései. Ismert képletek áttekintése
Grand P. Michon . Egy ellipszis kerülete (végső válaszok) (angol) , 2000-2005. — 20 óra
Videó: Hogyan rajzoljunk ellipszist

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11981967h GND : 4194779-4 J9U : 987007540845005171 LCCN : sh85042604

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg

Kúpos szakaszok
Főbb típusok	Ellipszis Hiperbola Parabola
Elfajzott	Pont Egyenes Egyenes vonalpár
Az ellipszis speciális esete	Kör
Geometriai konstrukció	kúpos szakasz Dandelin golyók Steiner tervezése
Lásd még	Kúpos állandó
Matematika • Geometria