Dandelin golyók

A Dandelin golyók olyan geometriai konstrukcióban részt vevő gömbök , amelyek egy ellipszis , hiperbola és parabola planimetrikus definícióját gócokon keresztül kapcsolják össze a sztereometrikus meghatározásukkal, mint egy kúp szakasza . Dandelin javasolta 1822 - ben .

Leírás

Tekintsünk egy körkúpot, amelyet egy olyan sík vágott le, amely nem megy át a kúp közepén. Tekintsünk két gömböt, amelyek a körök mentén érintik a kúp felületét, és érintik a vágósíkot a és pontokban . Az ilyen gömböket Dandelin golyóknak nevezik . Abban az esetben, ha a kúp szakasza ellipszis vagy hiperbola, két ilyen gömb van, a parabola esetében pedig csak egy. $C$ $C'$ $F$ $F'$

Ha két gömb van, akkor ellipszis esetén mindkettő ugyanabban a kúpban található, az egyik a vágási sík felett, a második alatta van; hiperbola esetén az egyik gömb egy adott kúpban helyezkedik el, a második - egy adott kúpban, amely a csúcsra nézve szimmetrikus, mindkettő a vágási sík felett van (vagy a vágási sík ugyanazon az oldalán, mint a kúp tengelye, ha a vágási sík párhuzamos a kúp tengelyével, de nem tartalmazza azt). Egy parabola esetében egyetlen gömb található ugyanabban a kúpban a vágási sík felett.

A szimmetria megfontolások alapján egyértelmű, hogy a golyók középpontjai a kúp tengelyén helyezkednek el. Ellipszis esetén Dandelin golyókat készítünk, parabola és hiperbola esetén a konstrukció sok tekintetben hasonló. A kúp tetejéről ejtsük a merőlegest a vágási síkra, és húzzunk egy egyenest az alapján, valamint a kúp tengelyének és a vágási sík metszéspontján keresztül. Ennek az egyenesnek és a kúp felületének felső metszéspontján keresztül megrajzoljuk az ezen egyenes és az ezen a ponton áthaladó kúp generatrixa közötti szög felezőjét . Ugyanezen a ponton keresztül rajzoljuk a második felezőt - a megadott szöget . Ez a két felezőszög metszi a kúp tengelyét a két Dandelin golyó középpontjában. Marad két gömb rajzolása, amelyek középpontja ebben a két pontban van, és sugara megegyezik a középpont és a generatrix távolságával.

Alkalmazás szakaszoláshoz

Ha veszünk egy tetszőleges pontot a kúp és a sík metszésvonalán, és megrajzoljuk rajta a kúp generatrixát, amely metszi a köröket és a és pontokban , akkor a pont elmozdulásakor a és a pontok végig fognak mozogni. a köröket és a távolság megőrzésével . $P$ $e$ $C$ $C'$ $K$ $Q'$ $P$ $K$ $Q'$ $C$ $C'$ $QQ'$

Mivel és a gömb két érintőjének szegmensei egy pontból , akkor és hasonlóan, . $PQ$ $PF$ $P$ $PQ=PF$ $PQ'=PF'$

Tehát a metszésvonal pontjai

állandó összege van , ami azt jelenti, hogy a lehetséges pontok halmaza egy ellipszis, a és a pontok pedig ennek fókuszai. $PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$
vagy állandó különbségük van , ami azt jelenti, hogy a lehetséges pontok halmaza egy hiperbola, a és a pontok pedig a fókuszpontjai. $PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$

A sík metszi azokat a síkokat, amelyekben a körök fekszenek , és az egyenesek mentén, amelyek a kúpszelet irányítói [1] : 46,47 . A direktrix tulajdonsága olyan, hogy a kúp és a sík metszésvonalán fekvő összes pontban a pont és az irányítópont és a megfelelő fókusz közötti távolságok aránya azonos. Valóban, hadd feküdjön a metszésvonalon, - a kör síkján . Hagyja, hogy a síkok és a síkok metsszék egymást egy egyenesben , - merőlegesen -tól -ig , - merőlegesen -tól -ig . Könnyen belátható, hogy hol van a és a síkok közötti szög . , ahol a kúp tengelye és generatrixa közötti szög. A két arányt megszorozva azt kapjuk, hogy , azaz olyan értéket, amely nem függ a pont megválasztásától . Ennek reciprokát a kúp excentricitásának nevezzük . (Egy másik fókusz egy másik irányvonalnak felel meg, amelyet a vágósík és a kör síkjának metszéspontja alkot .) Abban az esetben, ha a metszősík párhuzamos valamilyen generatrixszal , ahonnan , azaz . Ez megfelel a parabola szabványos definíciójának, amely egy adott ponttól (fókusz) és egyenestől (irányelv) egyenlő távolságra lévő pontok helye. $e$ $C$ $C'$ $e$ $P$ $c$ $C$ $c$ $e$ $l$ $PH$ $P$ $l$ $PK$ $P$ $c$ ${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$ $\alpha$ $c$ $e$ ${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$ $\varphi$ ${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$ $P$ ${\frac {PF}{PH}}$ $C'$ $\alpha =90^{\circ }-\varphi$ ${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$ $PF=PH$

Jegyzetek

↑ Pogorelov A. V. Geometria. — M .: Nauka , 1983. — 288 p.

Irodalom

Dandelin G. Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. -16).
Shal M. A trükkök megalkotásának és tulajdonságaik ferde kúpon való bizonyításának módszeréről // A geometriai módszerek keletkezésének és fejlődésének történeti áttekintése . - M. , 1883.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. 1. fejezet // Vizuális geometria. - 3. orosz. szerk. - M .: Nauka, 1981.
Akopjan A. V., Zaslavsky A. A. Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai . — M .: MTSNMO , 2007. — 136 p.

Delaunay B. N., Raikov D. A. 2. kötet // Analytical Geometry. — M., L.: Gostekhizdat , 1949. — 516 p.
Veselov A.P., Troitsky E.V. Előadások az analitikus geometriáról . - Szentpétervár. : Lan, 2003. - 160 p.
Protasov V. Yu. Maximák és minimumok a geometriában . — M. : MTsNMO. — 56 p. - ("Matematikai oktatás" könyvtár, 31. szám).
F. Nilov. Dandelin szférák a YouTube -on Előadás a Moszkvai Állami Egyetem Maly Mekhmatjában, 2011

Linkek

A Wikimedia Commons rendelkezik Dandelin labdákkal kapcsolatos médiával

Kúpos szakaszok
Főbb típusok	Ellipszis Hiperbola Parabola
Elfajzott	Pont Egyenes Egyenes vonalpár
Az ellipszis speciális esete	Kör
Geometriai konstrukció	kúpos szakasz Dandelin golyók Steiner tervezése
Lásd még	Kúpos állandó
Matematika • Geometria