Quadratrix

A Quadratrix egy sík transzcendentális görbe , kinematikailag meghatározott . Az ókorban (Kr. e. 5. században) javasolták a kör négyzetre emelésének és a szög háromszorosának a megoldására . A kvadritrix lett a matematika első transzcendentális görbéje [1] .

Definíció

A másodfokú kinematikai definíciója a következő: tekintsünk egy négyzetet (1. ábra), amelybe a kör negyedének szektora van beírva. Hagyja, hogy a pont egyenletesen mozogjon az ív mentén pontról pontra ; ugyanakkor a szegmens egyenletesen mozog pozícióból pozícióba . Végül megköveteljük, hogy mindkét mozgás egyszerre kezdődjön és fejeződjön be. Ekkor a sugár és a szakasz metszéspontja írja le a másodfokút (lásd 1. és 2. ábra, pirossal kiemelve). $ABCD$ $E$ $D$ $B$ $A'B'$ $DC$ $AB$ $AE$ $A'B'$

Az ókori matematikusok előítéletesek voltak a görbék kinematikai definícióival szemben, és méltatlannak tartották őket a geometria tudományához. Ezért két másik definíciót javasoltak, amelyek nem használják a mechanikus mozgás fogalmát; ezeket a meghatározásokat az alexandriai Pappus írásai adják, és a kvadratrixot olyan görbék vetületeként ábrázolják, amelyek Archimedes spiráljához vagy spiráljához kapcsolódnak [2] . Ezek a konstrukciók meglehetősen bonyolultak és a gyakorlatban nem használatosak.

A modern időkben más építményeket is felfedeztek, ahol egy kvadratikus jelenik meg; vegyük például egy helikoid tekercsének a felület tengelyét tartalmazó síkkal a metszéspontját. Ekkor a metszésvonal vetülete a tengelyre merőleges síkra a másodfokú [3] ága .

Történelem

A quadratrix első említése az alexandriai Pappus [4] és Iamblichus által a 3. század végén történt. Papp részletesen ismertette az elkészítésének módjait is. A görbét Proclus Diadochus szerint a szofista Hippias fedezte fel a Kr.e. V. században. e. és egy szög háromszakaszának megoldására használta . Egy másik ősi geometria, Dinostratus , amelyet a Kr.e. IV. században végeztek. e. tanulmányozta ezt a görbét, és megmutatta, hogy megoldást nyújt a kör négyzetesítési problémájára is . A forrásokban ezt a görbét „Dinostratus quadritrix”-nak vagy „Hippias quadritrix”-nek nevezik [5] .

Papp azt írja, hogy a niceai vita 3. századi matematikusa két komoly kifogást emelt a négyzet kör négyzetre állítása ellen, amivel Papp teljes mértékben egyetért [6] :

Lehetetlen pontosan koordinálni a BC és AB szakaszok mozgását, ha nem ismeri előre a negyedkör ívének hosszának és a sugárnak az arányát, így ördögi kört kapunk .
A K pontot nem lehet megszerkeszteni, mert a megfelelő időpillanatban a szakasz és a sugár egybeesik. A modern terminológiában a K pont a négyszög pontjainak határa – ez a fogalom idegen az ókori matematikától.

A modern időkben a görbét Roberval (1636), Fermat , Barrow (1670) és más ismert matematikusok tárták fel. Descartes sok oldalt szentelt a kvadratikus tanulmányozásának " Geometriájában " (1637) [7] . Newton 1676-ban meghatározta a négyszög ívének hosszát , görbületét és szegmensének területét sorozat formájában, valamint az érintők rajzolásának módját [8] .

Görbeegyenletek

Poláris koordinátákban :

\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}).

Következtetés
Legyen a kör sugara, az aktuális szög és a poláris sugár. A kényelem kedvéért bevezetjük az időt , amely a mozgás időtartama alatt 0-ról 1-re változik, majd egy pont egyenletes mozgását egy hosszú ív mentén a következő egyenlettel fejezhetjük ki: $R$ $\varphi$ $BUZI$ $\rho =AF$ $t$ $E$ $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ A szakasz egyenletes mozgását a következő egyenlet fejezi ki: $A'B'$ $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Az első egyenlet értékét behelyettesítve a másodikba, végül a következőt kapjuk: $1-t$ $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

Következtetés

Legyen a kör sugara, az aktuális szög és a poláris sugár. A kényelem kedvéért bevezetjük az időt , amely a mozgás időtartama alatt 0-ról 1-re változik, majd egy pont egyenletes mozgását egy hosszú ív mentén a következő egyenlettel fejezhetjük ki:

R

\varphi

BUZI

\rho =AF

t

E

\textstyle {\frac {\pi }{2}}

\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).

A szakasz egyenletes mozgását a következő egyenlet fejezi ki: $A'B'$

A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R

Az első egyenlet értékét behelyettesítve a másodikba, végül a következőt kapjuk: $1-t$

\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.

Téglalap alakú koordinátákkal :

x=y\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Következtetés
A polárkoordinátákban lévő egyenletet a következő alakba hozzuk: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Figyelembe véve , megkapjuk $\rho \sin \varphi =y$ $y={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Geometriai okokból: . Ekkor az egyenlet így fog kinézni: $\textstyle \varphi =\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}$ ${\frac {\pi y}{2R}}=\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}$ Mindkét részből vesszük az érintőt: $\operátornév {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ vagyis $x=y\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi y}{2R))$

Következtetés

A polárkoordinátákban lévő egyenletet a következő alakba hozzuk:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Figyelembe véve , megkapjuk $\rho \sin \varphi =y$

y={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Geometriai okokból: . Ekkor az egyenlet így fog kinézni: $\textstyle \varphi =\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}$

{\frac {\pi y}{2R}}=\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}

Mindkét részből vesszük az érintőt:

\operátornév {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}

vagyis

x=y\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Fő tulajdonság

A poláris koordináták másodfokú egyenlete a következőképpen írható fel:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,

vagy: hol

y=k\varphi ,

k={\frac {2R}{\pi }}.

Ez magában foglalja a görbe fő tulajdonságát [9] :

A négyszög bármely két pontjának ordinátái ezeknek a pontoknak a poláris szögeiként vannak összefüggésben: ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.$

A kvadratrix az egyetlen (nem degenerált) görbe az első koordinátanegyedben, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (ezt könnyű bizonyítani a fenti okfejtés fordított sorrendben történő megismétlésével).

Egyéb tulajdonságok

A négyzetszegmens területét a [3] képlet határozza meg : $ADFG$

S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}

Alkalmazás

Szögtriszekció

A szögtriszekció , vagyis egy tetszőleges szög három egyenlő részre osztása másodfokú segítségével elemileg történik. Legyen (1. ábra) egy bizonyos szög, amelynek harmadát kell megszerkeszteni. Az osztási algoritmus a következő: $EAB$

Találunk egy pontot a négyzeten és annak ordinátáján . $F$ $A'$
Tegye félre a harmadik részét a szegmensen; kap egy pontot . $AA'$ $H$
Találunk egy pontot a négyzeten ordinátával . $K$ $H$
Átadjuk a fényt . A szög kívánatos. $AK$ $KAB$

Ennek az algoritmusnak a bizonyítása azonnal következik a négyes fő tulajdonságából. Az is nyilvánvaló, hogy hasonló módon nem csak háromra, hanem tetszőleges számú részre is fel lehet osztani a szöget [10] .

Kör négyzetre emelése

A kör négyzetre emelésének problémája a következő: hozzunk létre egy adott sugarú körrel azonos területű négyzetet . Algebrailag ez a következő egyenlet megoldását jelenti: . $R$ $x^{2}=\pi R^{2}$

Alkossunk másodfokút a kezdeti körhöz, ahogy az ábrán látható. 1. Az első figyelemre méltó határértéket felhasználva azt kapjuk, hogy alsó pontjának abszcisszája (a 3. ábrán ez a szegmens ) egyenlő . Ezt arányban fejezzük ki: , ahol a kör kerülete. A fenti összefüggés lehetővé teszi egy hosszúságú szegmens felépítését . Az oldalakkal rendelkező téglalapnak megvan a kívánt területe, és egy egyenlő területű négyzet felépítése egyszerű dolog, lásd a Kvadratúra (matematika) cikket vagy a 3. ábrát. 3. $AG$ $AJ$ ${\frac {2R}{\pi ))$ $C:2R=2R:AG$ $C=2\pi R$ $C$ $R$ $C/2$

Változatok

A fentebb tárgyalt Dinostratus-kvadratúrán kívül számos más görbe is használható a kör kvadratúrájára, ezért nevezzük négyszögnek is [3] .

Chirnhaus (vagy Chirnhausen) Quadratrix, a szokásos szinuszhoz affin [11] :

y=a\sin {\frac {\pi x}{2a))

Ozanam kvadritrixa :

x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}

Cochleoid [11] poláris egyenlettel . $\rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi ))$

Ezenkívül számos szerző inkább felcseréli x -et és y -t a Dinostrat másodfokú egyenletében [12] :

y=x\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi x}{2R))

Ennek az opciónak ( teljes másodfokú ) az az előnye, hogy a függvény a teljes valós tengelyen van definiálva , kivéve a szinguláris pontokat . Poláris koordinátákban a görbe ezen változatának központi ágát a [12] képlet írja le : $y(x)$ $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\pontok$ $x=0$ $y(x)$ $R=1$

\rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}

Ennek a görbének végtelen számú ága van, amelyeknél a szinguláris pontokban lévő függőleges vonalak aszimptoták . Az ordinátával rendelkező görbe pontjai (az y tengelyen lévő pont kivételével) inflexiós pontok [12] . $y={\frac {2R}{\pi }}$

Jegyzetek

↑ A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I. - S. 84-85.
↑ Prasolov V.V., 1992 , p. 58-61.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , p. 230.
↑ Alexandriai Pappus . Matematikai Gyűjtemény, IV. könyv, 30-34.
↑ Savelov A. A., 1960 , p. 227.
↑ Prasolov, 2018 , p. 71.
↑ Prasolov V.V., 1992 , p. 61-62.
↑ Isaac Newton. Matematikai munkák / D. D. Mordukhai-Boltovsky fordítása és megjegyzései . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 31 , 87-89, 99, 166, 227, 287. - 452 p. - (A természettudomány klasszikusai).
↑ Az ókor három híres problémája, 1963 , p. 34-35.
↑ Az ókor három híres problémája, 1963 , p. 35-37.
↑ 1 2 Vileitner G. A matematika története Descartes-tól a 19. század közepéig. - M. : GIFML, 1960. - S. 284. - 468 p.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , p. 228.

Irodalom

Zsukov A. V. "A π számról" A Wayback Machine 2008. február 29-i archív példánya . M.: MTSNMO, 2002, 32 s ISBN 5-94057-030-5
Prasolov VV Matematika története, két kötetben. - M. : MTSNMO , 2018. - T. 1. - 296 p. - ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
Prasolov VV Három klasszikus építési probléma. Kocka megkettőzése, szög hárommetszete, kör négyzetre emelése . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Népszerű matematikai előadások , 62. szám).
Proshletsova I. L. A Dinosztrat-négyesről // Történelmi és matematikai kutatások . Szentpétervár: A Nemzetközi Tudománytörténeti Alapítvány kiadója. Probléma. 35 (1994)]. 220-229.
Savelov A. A. Síkgörbék : Szisztematika, Tulajdonságok, Alkalmazások (Referencia útmutató). - M. : Fizmatlit, 1960. - S. 227-230. — 293 p. 2002-ben újra kiadva, ISBN 5-93972-125-7 .
Chistyakov V.D. Az ókor három híres problémája. - M . : Állam. uch.-ped. az RSFSR Oktatási Minisztériumának kiadója, 1963. - S. 33-37. — 96 p.
Shchetnikov A. I. Hogyan találtak megoldást az ókor három klasszikus problémájára? // Matematikai oktatás. - 2008. - 4. szám (48) . - P. 3-15 .
Shchetnikov A.I. A Hippias kvadritrix és kapcsolata a szög háromszakaszának és a kör kvadratúrájának problémáival // Proceedings of the VIII International Kolmogorov Readings. - Jaroszlavl: YaGPU Publishing House, 2010. - S. 392 -396 . - ISBN 978-5-87555-630-2 .

Linkek

Quadratrix of Hippias archiválva 2012. február 4-én a Wayback Machine -nél a MacTutor archívumában. (Angol)
Hippias Quadratrix a konvergenciánál . (Angol)

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg