Ív

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A görbe vagy vonal egy geometriai fogalom, amelyet a matematika különböző részei eltérően határoznak meg .

Elemi geometria

Az elemi geometria keretein belül a görbe fogalma nem kap külön megfogalmazást. Például Eukleidész "elemeiben" úgy határozták meg, mint "hosszúság szélesség nélkül", és néha "egy alak határaként" is meghatározták.

Lényegében az elemi geometriában a görbék tanulmányozása a példák ( egyenes , szakasz , szaggatott vonal , kör stb.) figyelembevételére korlátozódik. Az elemi geometria általános módszerek híján meglehetősen mélyen behatolt a betongörbék ( kúpszelvények , egyes magasabb rendű algebrai görbék és néhány transzcendentális görbe ) tulajdonságainak vizsgálatába, minden esetben speciális technikákat alkalmazva.

Definíció a topológiában

Vonalszakasz megjelenítése

A görbét leggyakrabban egy vonalszakaszból egy topológiai térbe történő folyamatos leképezésként határozzák meg :

\gamma \colon [a,b]\to X

Ebben az esetben a görbék eltérőek lehetnek, még akkor is, ha a képeik azonosak. Az ilyen görbéket parametrizált görbéknek vagy ha , útvonalaknak nevezzük . $[a,b]=[0,1]$

Egyenértékűségi reláció

Néha egy görbét egy újraparametrizációig határoznak meg , azaz egy minimális ekvivalencia relációig úgy, hogy a parametrikus görbék

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

és

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

egyenértékűek, ha létezik egy folytonos monoton függvény (néha nem csökkenő) a szegmenstől a szegmensig , így $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.

Az ezzel a relációval meghatározott ekvivalencia osztályokat nem paraméterezett görbéknek vagy egyszerűen görbéknek nevezzük .

Kommentár

A fenti meghatározás nagymértékben lehetővé teszi számunkra, hogy intuitív elképzelésünket a görbéről „a ceruza felemelése nélkül rajzoljuk meg”, feltéve, hogy végtelenül hosszú metszeteket lehet rajzolni. Megjegyzendő, hogy sok, nehezen görbületnek tekinthető figura „megrajzolható a ceruza felemelése nélkül is”.

Például lehetséges egy szakasz olyan folyamatos leképezését síkra építeni, hogy a képe kitölt egy négyzetet (lásd Peano-görbe ). Sőt, Mazurkiewicz tétele szerint bármely kompakt összefüggő és lokálisan összefüggő topológiai tér egy szegmens folytonos képe. Így nem csak egy négyzet , hanem egy tetszőleges méretű kocka és még egy Hilbert-tégla is egy vonalszakasz folytonos képe.

Mivel egy kép (ábra) egy szegmens (görbék) különböző leképezéseivel nyerhető, általános esetben egy görbe nem definiálható egy szakasz folytonos képeként, kivéve, ha a leképezésre további korlátozások vonatkoznak.

Curve Jordan

A Jordan -görbe vagy egy egyszerű görbe egy kör vagy szegmens térbe történő folyamatos injektív leképezésének ( beágyazásának ) képe . Kör esetén a görbét zárt Jordan-görbének , szakasz esetén pedig Jordan-ívnek nevezzük .

A jól ismert Jordan-tétel kimondja, hogy bármely zárt Jordan-görbe egy síkon egy „belső” és egy „külső” részre osztja azt.

A Jordan-görbe meglehetősen összetett objektum. Például lehetséges egy nem nulla Lebesgue-mértékkel megszerkeszteni egy sík Jordan-görbét , amelyet Osgood [1] végzett el a Peano-görbével analóg módon .

Definíció az elemzésben

A matematikai elemzésben gyakran használják a sima görbe definícióját . Először határozzunk meg egy síkgörbét (vagyis egy görbét -ben ). Legyen és legyen függvények az intervallumon , amelyek ezen az intervallumon folytonosan differenciálhatók , és úgy, hogy ha nincs t egyenlő nullával. Ezután a leképezés meghatároz egy görbét, amely sima; egy nem paraméterezett görbét simának mondjuk, ha megenged egy ilyen paraméterezést. A sima görbe hossza a képlet segítségével számítható ki $\mathbb R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\ to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Ez a meghatározás általánosítható más terekre való leképezésekre, valamint egy másik simasági osztály leképezéseire is, lásd alább.

Definíció a differenciálgeometriában

Ha egy sima sokaság , akkor egy sima görbét definiálhatunk sima térképként, amelynek differenciálja sehol sem tűnik el. Ha a sokaság simasági osztálya , akkor a -görbét olyan görbeként vezetjük be, amelyre egy szor folytonosan differenciálható leképezés. Ha egy analitikus sokaság (például euklideszi tér ) és egy analitikus térkép , akkor a görbét analitikusnak nevezzük. $x$ $x$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $x$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $x$ $\gamma$

Sima görbék és ekvivalensnek nevezzük, ha létezik olyan diffeomorfizmus (paraméterváltozás), hogy . Az erre az összefüggésre vonatkozó ekvivalenciaosztályokat nem paraméterezett sima görbéknek nevezzük. $\gamma _{1}\colon I\to X$ $\gamma _{2}\colon J\to X$ $p\colon I\to J$ $\gamma_1=\gamma_2\circ p$

Algebrai görbék

Az algebrai görbéket az algebrai geometriában tanulmányozzák . A sík algebrai görbe x , y koordinátájú pontok halmaza, az f ( x , y ) = 0 egyenlet adott megoldási halmaza , ahol f egy polinom két változóban, együtthatókkal az F mezőben . Az algebrai geometriában általában nem csak azokat a pontokat veszik figyelembe, amelyek koordinátái F -hez tartoznak , hanem F algebrai zárásában koordinátákkal rendelkező pontokat is . Ha C egy sík algebrai görbe úgy, hogy az őt meghatározó polinom együtthatói az F mezőben helyezkednek el, akkor F felett definiált görbének nevezzük . Az F felett definiált görbe azon pontjait, amelyeknek minden koordinátája G-hez tartozik, G feletti racionálisnak (vagy egyszerűen G - pontoknak ) nevezzük . Példa: a valós számok felett definiált x 2 + y 2 + 1 = 0 görbének vannak pontjai, de egyik sem valós pont.

Az algebrai görbék magasabb dimenziójú terekben is definiálhatók ; polinomiális egyenletrendszer megoldásainak halmazaként vannak definiálva .

Bármely síkgörbe kitölthető görbévé a projektív síkban . Ha egy síkgörbét egy f ( x , y ) d teljes fokú polinom határoz meg , akkor a polinom

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

zárójel után a bővítés leegyszerűsödik egy d fokú homogén f ( x , y , z ) polinomra . Azok az x , y , z értékek , hogy f ( x , y , z ) = 0 a síkgörbe befejezésének homogén koordinátái , míg az eredeti görbe pontjai azok a pontok, amelyeknél z nem egyenlő nullával. Példa: az x n + y n = z n Fermat-görbe affin formában x n + y n = 1 lesz. Az affin görbéről a projektívre való átmenet folyamata általánosítható magasabb dimenziókra.

A síkgörbék gyakori példái a kúpok (másodrendű görbék) és az elliptikus görbék , amelyeknek fontos alkalmazása van a kriptográfiában . A magasabb fokú egyenletek által adott algebrai görbék példáiként a következőket jelezhetjük:

Negyedrendű görbék: Bernoulli lemniscate és Cassini ovális .
Hatodik rendű görbék: az astroid és a nephroid .
Tetszőleges páros fokú egyenlet által meghatározott görbe: (multifokális) lemniszkát .

Transzcendens görbék

A transzcendentális görbék olyan görbék, amelyek nem algebraiak. Pontosabban, a transzcendentális görbék olyan görbék, amelyek egy analitikus , de nem algebrai függvény (vagy többdimenziós esetben függvényrendszer) szintvonalaként definiálhatók. Példák transzcendentális görbékre:

Görbetípusok

A zárt görbe olyan görbe, amelynek eleje egybeesik a végével.
A síkgörbe olyan görbe, amelynek minden pontja ugyanabban a síkban van.
Egy egyszerű görbe megegyezik a Jordan-görbével.
Az útvonal egy szakasz folyamatos leképezése egy topológiai térbe . $[0,1]$

Pontok típusai a görbén

Általánosított görbék

Cantor az 1870-es években adott egy görbe általánosabb meghatározását a sík esetében :

A Cantor-görbe a sík olyan kompakt, összefüggő részhalmaza , amelynek komplementere mindenhol sűrű .

A Cantor-görbe fontos példája a Sierpinski szőnyeg . Bármi is legyen a Cantor-görbe , beágyazható egy Sierpinski-szőnyegbe, vagyis a Sierpinski-szőnyeg olyan részhalmazt tartalmaz , amely homeomorf . Így a Sierpinski szőnyeg egy univerzális lapos Cantor-görbe. $L$ $L'$ $L$

Ezt a meghatározást később Uryson általánosította :

Az Urysohn-görbe egy összefüggő kompakt topológiai tér, amelynek topológiai dimenziója 1. $C$

A Sierpinski szőnyeg megfelel ennek a definíciónak, így minden Cantor-görbe egyben Urysohn-görbe is. Ezzel szemben, ha egy laposan összekötött kompakt halmaz egy Urysohn-görbe, akkor az egy Cantor-görbe.

Lásd még

Jegyzetek

↑ WF Osgood. Pozitív terület Jordan-görbéje (angol) // Transz. Am. Math. Szoc.. - 1903. - 1. köt. 4 . — P. 107–112 .

Irodalom

Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Vizuális topológia. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. A metrikus geometria tanfolyama. - Moszkva, Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - 496 p. — (Modern matematika). — ISBN 5-93972-300-4 .
Matematikai enciklopédikus szótár . M. " Szovjet Enciklopédia " , 1988
Görbék // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Linkek

Marószerek _
Felületek , ívek
speciális síkgörbék [1] (rus.)

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg