Kompakt tér

A kompakt tér a topológiai terek egy bizonyos típusa, amely az euklideszi terek korlátosságának és zárásának tulajdonságait tetszőleges topológiai terekre általánosítja.

Az általános topológiában a kompakt terek tulajdonságaikban hasonlítanak a halmazelmélet véges halmazaihoz .

Definíció

A kompakt tér olyan topológiai tér , amelynek bármely fedésében nyílt halmazok esetén van véges alborító [1] .

Kezdetben ezt a tulajdonságot bikompaktnak nevezték (ezt a kifejezést P. S. Aleksandrov és P. S. Uryson vezette be ), és a megszámlálható nyitott fedeleket használták a tömörség meghatározásában . Ezt követően a bikompaktság általánosabb tulajdonsága népszerűbbnek bizonyult, és fokozatosan egyszerűen tömörségnek nevezték el. Most a "bikompaktság" kifejezést főleg csak P. S. Aleksandrov iskola topológusai használják. Azoknál a tereknél, amelyek kielégítik a megszámlálhatóság második axiómáját , a tömörség eredeti meghatározása megegyezik a modern definícióval [2] .

Bourbaki és követői a tömörség definíciójába foglalják a Hausdorff tértulajdonságot [ 2] .

Példák kompakt készletekre

Zárt korlátos halmazok -ban . $\mathbb {R} ^{n}$
Topológiai terek véges részhalmazai.
Az Ascoli-Arzela tétel a valós függvények terében lévő kompakt halmazokat jellemzi egy metrikus kompakt térben a normával : a függvényhalmaz zárása akkor és csak akkor kompakt, ha egyenletesen korlátos és ekvikontinuálisan folytonos . $C(X)$ $x$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
A Boole-algebrák kőtere .
Topológiai tér tömörítése .

Kapcsolódó definíciók

A T topológiai tér azon részhalmazát, amely a T által indukált topológiában kompakt tér, kompakt halmaznak nevezzük .
Egy halmazt prekompaktnak (vagy T -hez képest kompaktnak ) nevezünk, ha a T -ben való záródása kompakt [3] .
Egy teret szekvenciálisan kompaktnak nevezünk, ha bármely sorozatnak van konvergens részsorozata.
A lokálisan kompakt tér olyan topológiai tér, amelyben bármely pontnak van olyan szomszédsága , amelynek zárása kompakt.
A korlátozottan kompakt tér egy metrikus tér , amelyben minden zárt golyó kompakt.
A pszeudokompakt tér egy Tikhonov -tér, amelyben minden folytonos valós függvény korlátos.
A megszámlálhatóan kompakt tér olyan topológiai tér, amelyben a nyílt halmazok által megszámlálható fedések véges részborítót tartalmaznak.
A gyengén megszámlálható kompakt tér olyan topológiai tér, amelyben bármely végtelen halmaznak van határpontja.
A H-zárt tér bármely környező Hausdorff térbe zárt Hausdorff tér [4] .

A " kompakt " kifejezést néha egy mérhető kompakt térre használják, de néha egyszerűen a "kompakt tér" kifejezés szinonimájaként. A " kompakt " kifejezést is használják néha egy Hausdorff kompakt térhez [5] . Továbbá a „ kompakt ” kifejezést a „kompakt tér” kifejezés szinonimájaként fogjuk használni .

Tulajdonságok

A tömörséggel egyenértékű tulajdonságok:
- Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha a zárt halmazok minden központosított családjának, azaz olyan családnak, amelyben a véges alcsaládok metszéspontjai nem üresek, van nem üres metszéspontja [6] .
- Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden iránynak van határpontja.
- Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden szűrőnek van határpontja.
- Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden ultraszűrő legalább egy ponthoz konvergál.
- Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden végtelen részhalmaza rendelkezik legalább egy teljes halmozódási ponttal . $x$ $x$
Egyéb általános tulajdonságok:
- Bármilyen folyamatos leképezés esetén a kompakt halmaz képe egy kompakt halmaz.
- Weierstrass-tétel . Egy kompakt térben minden folytonos valós függvény korlátos, és eléri maximális és minimális értékét.
- A kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt.
- A Hausdorff-tér egy kompakt részhalmaza zárva van .
- A kompakt Hausdorff tér normális .
- Egy Hausdorff-tér akkor és csak akkor kompakt, ha szabályos és H-zárt [4] .
- Egy Hausdorff-tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden zárt részhalmaza H-zárt [4] .
- Tyihonov tétele: A kompakt halmazok tetszőleges (nem feltétlenül véges) halmazának (a szorzattopológiával ) szorzata kompakt.
- Bármilyen folyamatos egy-egy leképezés egy kompakt halmaztól a Hausdorff - térig homeomorfizmus .
- A kompakt halmazok pontként viselkednek [7] . Például: Hausdorff térben bármely két nem metsző kompakt halmaznak van nem metsző szomszédsága, szabályos térben minden nem metsző kompakt és zárt halmaznak nem metsző szomszédsága van, Tikhonov térben pedig nem metsző kompakt és zárt halmazok funkcionálisan elválaszthatók .
- Minden véges topológiai tér kompakt.

A kompakt metrikus terek tulajdonságai:
- Egy metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha bármely pontsorozat tartalmaz konvergens részsorozatot.
- A Hausdorff tömörségi tétel szükséges és elégséges feltételeket ad egy halmaz tömörségéhez metrikus térben.
- A véges dimenziós euklideszi terek esetében egy altér akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt . Az ilyen tulajdonságú terek állítólag kielégítik a Heine-Borel tulajdonságot [8] .
- Lebesgue-lemma : Minden kompakt metrikus térhez és nyitott fedéshez létezik olyan pozitív szám , hogy bármely részhalmaz, amelynek átmérője kisebb, mint , benne van az egyik halmazban . Az ilyen számokat Lebesgue-számnak nevezik. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \az A-ban$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Lásd még

Tömörítés

Jegyzetek

↑ Viro et al., 2012 , p. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , p. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , p. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , p. 209.
↑ Engelking, 1986 , p. 208.
↑ Lásd még: Lemma a beágyazott szegmensekről
↑ Engelking, 1986 , p. 210.
↑ Lásd még : Bolzano-Weierstrass tétel#Bolzano-Weierstrass tétel és a tömörség fogalma

Irodalom

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 4. kiadás -M.:Nauka, 1976. (Orosz)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Elemi topológia. - 2. kiadás, javítva .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Orosz)
Protasov, V. Yu. Maxima és minimumok a geometriában. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 p. - ("Matematikai oktatás" könyvtár, 31. szám). (Orosz)
Schwartz, L. Elemzés. -M .:Mir, 1972. - T. I. (Orosz)
Kelly, J. L. Általános topológia. - M .: Nauka , 1968. (Orosz)
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p. (Orosz)
Arhangelsky, A.V. Bikompakt tér //Mathematical Encyclopedia. -M.: Szovjet Enciklopédia, 1977-1985. (Orosz)
Voitsekhovsky, M. I. Kompakt tér // Mathematical Encyclopedia . - M .: Szovjet Enciklopédia, 1977-1985. (Orosz)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Universalis