Szűrő (matematika)

A szűrő egy részlegesen rendezett halmaz egy részhalmaza, amely megfelel bizonyos feltételeknek. A fogalom az általános topológiából származik , ahol a szűrők bármely halmaz összes részhalmazának rácsán keletkeznek, amelyet a befogadási reláció rendez . A szűrő kettős koncepció, mint az ideális .

A szűrőket Henri Cartan vezette be 1937-ben [1] [2] , majd Nicola Bourbaki használta őket Topologie Générale című könyvében a hálózat hasonló koncepciójának alternatívájaként , amelyet 1922-ben E. G. Moore és G. L. Smith dolgozott ki.

Definíció a rácselmélet keretében

A félrács egy részhalmazát szűrőnek nevezzük , ha $F$ $L$

mindenkinek , $a,b\in F$ $a\land b\in F$
mindenkinek és olyannak , $a\in F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

Egy szűrőt natívnak mondunk , ha . $F\neq L$

Az olyan sajátszűrőt, amelyben nincs más sajátszűrő, ultraszűrőnek vagy maximumszűrőnek nevezzük .

Egy rácsos szűrőt egyszerűnek nevezünk , ha mindebből az következik, hogy vagy , vagy . $F$ $a,b\in L$ $a\lor b\in F$ $a\in F$ $b\in F$

Az adott elemet tartalmazó minimális szűrőt a főelem által generált főszűrőnek nevezzük . $x$ $x$

Ha szűrő, akkor ideális . $F$ $L\backslash F$

Boole-algebra szűrő

A Boole-algebra szűrője egy olyan részhalmaz , amelyre a feltételek [3] teljesülnek : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

A Boole-algebrán lévő szűrőt ultraszűrőnek nevezzük, ha a következő feltétel teljesül: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

A Boole-algebra szűrőjét egyszerűnek nevezzük, ha teljesíti a következő feltételt: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

A Boole-algebrán lévő szűrőt akkor mondjuk maximálisnak, ha nem tartalmazza egyetlen másik szűrőben sem . $D$ $M$ $M$

Szűrők a készleteken

A szűrő speciális esete egy készleten lévő szűrő. Minden halmazhoz meghatározhatja részhalmazainak rácsát . Ekkor a bekapcsolt szűrőt olyan részhalmazként határozzuk meg, amely megfelel a következő feltételeknek [4] : $x$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $x$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
bármely két elem metszéspontja abban rejlik $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
bármely elem szuperhalmaza abban rejlik $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

A nézetszűrőt halmaz által generált szűrőnek nevezzük . Az egyik elem halmaza által generált szűrőt fő szűrőnek nevezzük . A fő szűrő egy ultraszűrő. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Szűrőbázis

Legyen egy szűrő a készleten . A részhalmazok családját a szűrő bázisának (bázisának) nevezzük , ha a szűrő bármely eleme tartalmazza a bázis valamely elemét , azaz létezik olyan, amelyik . Ebben az esetben a szűrő egybeesik a -ból származó összes lehetséges szuperhalmaz családjával . Különösen a közös alappal rendelkező szűrők azonosak. Azt is mondják, hogy az alap generál egy szűrőt $\mathfrak F$ $x$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Ahhoz, hogy egy halmaz részhalmazainak családja valamilyen szűrő alapja legyen , szükséges és elégséges, hogy a következő feltételek ( alapaxiómák ) teljesüljenek: ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $x$ $x$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
mert létezik olyan, hogy $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\supset C$ .

Két bázis és ekvivalensnek nevezzük, ha bármely elem tartalmaz valamilyen elemet , és fordítva, bármely elem tartalmaz valamilyen elemet . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Az egyenértékű bázisok ugyanazt a szűrőt generálják. Az adott bázissal egyenértékű bázisok között van olyan bázis, amely a befogadás szempontjából maximális, mégpedig az ezen bázis által generált szűrő . Így természetes egy az egyhez megfelelés van az egyenértékű bázisok és szűrők osztályai között. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Szűrők összehasonlítása

Legyen a készletben két szűrő és . A szűrőről azt mondják , hogy egy szűrőt ( erősebb , vékonyabb ) alakít ki , ha . Ebben az esetben a szűrőről azt is mondják, hogy a szűrő nagyobb ( gyengébb , durvább ). $x$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

Azt mondják, hogy az alap erősebb, mint az alap , és azt írják, ha valamelyik elem tartalmaz valamilyen elemet . Az alap akkor és csak akkor erősebb az alapnál , ha az alap által generált szűrő erősebb, mint az alap által generált szűrő . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Bázisok és akkor és csak akkor egyenértékűek, ha és mindkettő . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Szűrések topológiai terekben

Legyen egy topológiai tér és egy szűrő a halmazon . Egy pontot a szűrő határértékének nevezünk , ha a pont bármely környéke a szűrőhöz tartozik . Megnevezés: . Ha ez az egyetlen szűrőkorlát, akkor azt is írja be . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $x$ $a\in X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $a$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

Az alap által generált szűrő esetében a pont akkor és csak akkor a határértéke, ha bármelyik szomszédság teljes egészében tartalmaz valamilyen halmazt a -ból . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $a$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

Hausdorff topológiai térben egy szűrőnek legfeljebb egy határértéke lehet. Ennek a fordítottja is igaz: ha minden szűrőnek legfeljebb egy határa van, akkor a tér Hausdorff.

Egy pontot akkor nevezünk a szűrő határpontjának (érintkezési pontnak, részhatárnak), ha bármely halmaz zárásához tartozik -ból , azaz mindenre . Ezzel egyenértékűen a pont bármely környékére és bármely , . Az ultraszűrő bármely határpontja a határértéke. $a\in X$ $\mathfrak F$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $a$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

Egy kompakt topológiai térben minden szűrőnek van határpontja, és minden ultraszűrőnek van határa.

Példák

Egy topológiai térben lévő pont összes környezetének halmaza egy szűrő;
Ha egy végtelen halmaz, akkor a véges halmazok komplementereinek halmaza egy szűrő. Az ilyen szűrőt végső szűrőnek vagy Fréchet szűrőnek nevezik . $x$
Ha a kardinalitás végtelen halmaza , akkor a számossághalmazok komplementereinek halmaza is szűrő. $x$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Archiválva : 2015. május 11., a Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Archiválva : 2015. október 14., a Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , p. 22.
↑ Aleksandryan, 1979 , p. 100.

Irodalom

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Általános topológia. - M . : Felsőiskola, 1979. - 336 p.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problémák a halmazelméletben, a matematikai logikában és az algoritmusok elméletében. — M .: Nauka, 1975. — 240 p.