Határozza meg a szűrő mentén

A határérték a szűrő mentén ( határ a szűrő alapján, határ az alapon ) a határ fogalmának általánosítása .

Szűrődefiníció

Legyen adott egy halmaz A halmaz részhalmazainak nem üres rendszerét a halmaz szűrőbázisának ( bázisának) nevezzük , ha $x.$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$

bármilyen _ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\neq \varnothing ;$
mert létezik ilyen $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.$

A határérték meghatározása

Lent mindenhol a halmaz szűrőalapja (alapja) látható . ${\mathfrak B}$ $x$

Numerikus függvény határértéke

Hadd . Egy számot egy függvény alaphatárának nevezünk , ha $f:X \to \mathbb{R}$ $A\in \mathbb {R}$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

mert bármelyik létezik olyan, hogy minden egyenlőtlenség

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

|f(x)-A|<\varepsilon .

Alapkorlát jelölés: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.$

Egy függvény határértéke a metrikus térben lévő értékekkel

Legyen metrikus tér és . Egy pontot egy függvény határértékének nevezzük az alaphoz képest, ha $(M,\rho)$ $f:X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

mert bármelyik létezik olyan, hogy minden egyenlőtlenség

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

\rho (f(x),a)<\varepsilon .

Kijelölés: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Egy topológiai térben lévő értékekkel rendelkező függvény korlátja

Legyen egy topológiai tér és . Egy pontot egy függvény határértékének nevezzük az alaphoz képest, ha $(M,{\mathcal {T))$ $f\colon X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

a pont bármely szomszédságára létezik olyan, hogy , azaz a befogadás mindenkire érvényes .

V

a

B\in {\mathfrak {B}}

f(B)\subset V

x\in B

f(x)\in V

Kijelölés: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Megjegyzés. Az utolsó "egyenlőség" csak olyan esetekben helyes, ha a szóköz Hausdorff . Egy nem Hausdorff-térben lévő értékekkel rendelkező függvény határértéke egyszerre több különböző pont is lehet (és így a határérték egyediség tétele sérül). $(M,{\mathcal {T))$

Példák

Szokásos határ

Legyen topológiai tér , és Legyen Akkor a halmazrendszer $(X,{\mathcal {T}})$ $M\subset X.$ $a \-ben M'.$

{\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal { T}}\jobbra\}

a halmazszűrő alapja, és vagy egyszerűen jelöljük . A halmaz alapja feletti függvény határértékét a függvény határértékének nevezzük egy pontban , és jelöli . $M$ $M\ni x\to a$ $x\to a.$ $x\to a$ $M$ $a$ $\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Egyoldalú korlátok

Legyen és Ezután a beállított rendszer $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\))

a szűrő alapja , és a vagy jelölése $x\to a+$ $x\to a+0.$ $\lim \limits _{x\to a+}f(x)$ $f$ $x$ $a.$

Legyen és Ezután a beállított rendszer $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\))

a szűrő alapja , és vagy jelölése $x\to a-$ $x\to a-0.$ $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ $f$ $x$ $a.$

Határok a végtelenben

Legyen és Ezután a beállított rendszer $M\subset {\mathbb {R}),$ $\sup M=\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.

a szűrő alapja, és vagy jelöli. A határértéket a függvény határértékének nevezzük, mivel az a végtelenbe hajlik. $x\to \infty$ $x\to +\infty .$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)$ $f$ $x$

Legyen és Ezután a beállított rendszer $M\subset {\mathbb {R}),$ $\inf M=-\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.

a szűrő alapja, és ezt jelöljük . A határértéket a függvény mínusz - végtelenre hajló határértékének nevezzük. $x\to -\infty .$ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)$ $f$ $x$

Sorozatkorlát

Állítsa be a rendszert, ahol ${\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },$

B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,

a szűrő alapja és jelölése A függvényt numerikus sorozatnak nevezzük, és a határérték ennek a sorozatnak a határértéke. $n\to \infty .$ $n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n))$

A Riemann-integrál

Legyen A pontok gyűjteményét egy szakasz felcímkézett partíciójának nevezzük. A partíció átmérőjét számnak nevezzük. Ekkor a halmazrendszer $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ $[a,b]$ $T=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b,\;x_{n-1}\leqslant \xi _{ n}\leqslant x_{n}\;n\in \mathbb {N} \}.$ $T$ $d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{T\mid d(T)<\delta ,\delta >0\))

a szűrő alapja az összes felcímkézett partíció terében A függvényt az egyenlőséggel határozzuk meg ${\mathfrak {T}}$ ${\megjelenítési stílus [a,b].}$ $S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R}$

S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\quad T \in {\mathfrak {T}.

Ekkor a határértéket a függvény Riemann-integráljának nevezzük az intervallumon $\lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)$ $f$ ${\megjelenítési stílus [a,b].}$

Irodalom

Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam (két kötetben), - M . : Felsőiskola, II. kötet - 584 p. – 1981.