Jordan tétele

Jordan tétele a topológia klasszikus tétele, amely a megfogalmazás egyszerűségéről és a bizonyítás rendkívüli bonyolultságáról ismert.

Megfogalmazás

Egy egyszerű (azaz önmetszéspontokkal nem rendelkező) lapos zárt görbe a síkot két összefüggő komponensre osztja, és ezek közös határa. [egy] $\gamma$ $\mathbb R^2$

Jegyzetek

A két összekapcsolt komponens közül az egyik (a belső ) korlátos; azzal jellemezve, hogy bármely ponthoz viszonyított foka egyenlő ; a másik (külső ) határtalan, és a fok bármely ponthoz képest nullával egyenlő. Schoenflies tétele szerint az előbbi mindig homeomorf egy lemezzel. [egy] $B$ $\gamma$ $\gamma$ $B$ $\pm 1$ $S$ $\gamma$ $\gamma$ $S$

Történelem

A tételt Camille Jordan fogalmazta meg és bizonyította 1887 -ben .

Gyakran állítják, hogy Jordan bizonyítéka nem volt teljesen kimerítő, az első teljes bizonyítékot Oswald Veblen adta 1905 -ben . [2] Thomas Hales azonban azt írja, hogy Jordan bizonyítása nem tartalmaz hibákat, és az egyetlen lehetséges állítás ezzel a bizonyítással szemben, hogy Jordan feltételezi, hogy a tétel állítása ismert abban az esetben, ha a zárt görbe sokszög. [3]

A bizonyítékokról

Jordan tételének számos egyszerű bizonyítása ismert.

Jordan tételének rövid és elemi bizonyítását Alekszej Fedorovics Filippov javasolta 1950-ben, míg maga Filippov megjegyzi, hogy tőle függetlenül egy nagyon hasonló bizonyítást javasolt Aizik Isaakovich Volpert [4] .
Egy nagyon rövid bizonyítást az alapcsoport felhasználásával Doyle. [5]

Változatok és általánosítások

Jordan tétele általánosított dimenzióban:

Bármely -dimenziós alsokaság -ben , amely egy gömbhöz homeomorf, a teret két összefüggő komponensre osztja, és ezek közös határa.

(n-1)

\mathbb {R} ^{n}

Ezt Lebesgue , általános esetben Brouwer bizonyította , ezért a -dimenziós Jordan-tételt néha Jordan-Brauer-tételnek is nevezik. [egy]

n=3

n

Ezen túlmenően, bármely kompakt csatlakoztatott -dimenziós alsokatórium két összekapcsolt komponensre osztja fel a teret, és ez a közös határ. A bizonyítást Alexander kettősségének alkalmazásával kapjuk . $(n-1)$ $\mathbb {R} ^{n}$

Schoenflies tétele kimondja, hogy létezik egy olyan sík homeomorfizmusa önmagában, amely egy adott Jordan-görbét körbe képez.
- Konkrétan, Jordan tételében a korlátos komponens homeomorf az egységkoronggal, a korlátlan komponens pedig az egységkorong külsejével.
- A vad gömb példa azt mutatja, hogy egy hasonló állítás magasabb dimenziókban nem igaz.

Lásd még

Jordan görbe
A Vada-tavak kóros példák, amelyek jól mutatják Jordan tételének nem triviálisságát.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 I. M. Vinogradov. Jordan-tétel // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
↑ Lásd például R. Courant, G. Robbins. Mi a matematika? - M.: MTSNMO, 2010, - S. 270-271.
↑ Hales, Thomas. Jordan bizonyítéka a Jordan-görbe tételére // Logikai, nyelvtani és retorikai tanulmányok. - 2007. - Vol. 10 , sz. 23 . - P. 45-60 .
↑ A. F. Filippov . A Jordan-tétel elemi bizonyítása // Uspekhi Mat . - 1950. - V. 5 , 5. szám (39) . - S. 173-176 . Az eredetiből archiválva : 2013. december 24.
↑ P.H. Doyle. Sík szétválasztás. Proc. Cambridge Philos. szoc. 64 (1968), p. 291.

Irodalom

Anosov DV Körleképezések, vektormezők és alkalmazásaik. - M. : MTSNMO kiadó, 2003.
Filippov AF Jordan tételének elemi bizonyítása. – UMN 5:5(39) (1950), 173-176.
Jordan C. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
Vallee Poussin. Tanfolyam az infinitezimálisok elemzéséből. - per. franciából, 2. kötet, L.-M., 1933.
Alexandrov P. S. Kombinatorikus topológia. - M.-L., 1947.
Dieudonne J. A modern elemzés alapjai. - per. angolból, M .: 1964.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Vizuális topológia. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Prasolov V. V. Jordan tétele. — Matek. oktatás, 1999. április-szeptember, 95-101.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)