Arany spirál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az aranyspirál vagy Fibonacci spirál egy logaritmikus spirál , amelynek növekedési tényezője φ 4 , ahol φ  az aranymetszés . A logaritmikus spirál növekedési együtthatója megmutatja, hogy a spirál poláris sugara hányszor változott 360°-os szögben elforgatva [1] . Ez a spirál azért kapta a nevét, mert kapcsolódik egy egymásba ágyazott téglalapok sorozatához, amelyek képaránya egyenlő φ -vel , és amelyeket általában aranynak neveznek . Egy arany spirál egy ilyen téglalapok rendszerébe írható és körülírható. Az aranyspirál népszerűsége annak köszönhető, hogy a 16. század elejéről ismert, a művészetben is használt spirál [2] , Dürer-módszerrel [3] [4] , jó közelítésnek bizonyult az aranyspirál (lásd az ábrát).

Képlet

Az aranyspirál egyenlete a polárkoordináta-rendszerben ugyanaz, mint a többi logaritmikus spirál esetében, de a növekedési tényező - φ 4 speciális értékével :

,

ahol a  egy tetszőleges pozitív valós állandó és a  az aranymetszés .

A logaritmikus spirál fő tulajdonsága: a pólusból kiinduló sugárvektor és a spirál érintője közötti szög - μ - állandó, és az aranyspirál esetében a képlet határozza meg:

, hol .

Hol .

Az aranyspirál közelítései

Számos hasonló spirál van, amelyek közel állnak, de nem teljesen azonosak az aranyspirállal [5] , amellyel gyakran összekeverik őket.

Ahogy fentebb már említettük, ha egy aranyspirált egy egymásba ágyazott arany téglalapok sorozatába írunk, akkor azt a Dürer-módszer szerint épített spirállal közelítjük meg. Az arany téglalap négyzetre és egy hasonló téglalapra osztható, amelyek viszont ugyanúgy feloszthatók, és ez a folyamat tetszőleges számú alkalommal folytatható. Ha az egymáshoz kapcsolódó körök negyedeit beírjuk ezekbe a négyzetekbe, akkor az első ábrán látható spirált kapunk.

Egy másik közelítés a Fibonacci spirál , amely a fenti spirálhoz hasonlóan épül fel, azzal a különbséggel, hogy egy két négyzetből álló téglalappal kezdjük, majd hozzáadunk egy azonos hosszúságú négyzetet a téglalap nagyobbik oldalához. Ahogy a szomszédos Fibonacci-számok aránya megközelíti az aranymetszetet, a spirál a négyzetek hozzáadásával egyre jobban megközelíti az arany spirált (lásd a második ábrát).

Spirálok a természetben

A természetben vannak közelítések a logaritmikus spirálokhoz , amelyek növekedési tényezője φ k . Tehát a Nautilus pompilius puhatestűek és a megkövesedett ammonitok héjai jól leírhatók k = 2-nél, egyes csigák héjai pedig k = 1 -nél. [ 6 ] spirálgalaxisok a meglévő állítások ellenére [8] , ha logaritmikusan írják le őket, akkor nem egy aranyspirállal. Ebben az esetben az általa írt leírás a véletlenszerű közelség megnyilvánulása. Az egér szaruhártya hámjában talált spirálok közelmúltbeli elemzése kimutatta, hogy arany és egyéb logaritmikus spirálok is előfordulnak ott. [9]

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Magasabb matematika kézikönyve. M.: Nauka, 1977, p. 884.
  2. ↑ Prohorov A. Aranyspirál, Kvant, 1984, 9. sz.
  3. ↑ Arakelyan. G. Matematika és az aranymetszet története, Moszkva: Logos, 2014, p. ötven.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (angol fordítás: The Painter's Manual, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , p. 14–16.
  6. ↑ A.N. Kovalev, Még egyszer az aranyspirálokról // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publikáció pdf Archivált : 2017. október 13., a Wayback Machine -nél
  7. ↑ Petukhov S. V. Mátrix genetika, genetikai kód algebrák, zajvédelem. - Moszkva: Szabályos és kaotikus dinamika, 2008. - 107. o.
  8. ↑ Gazale, 1999 , p. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , p. 22–38.

Irodalom

 aranymetszés
"Arany" figurák
Egyéb szakaszok
Egyéb