Görbe inverzió

A görbe inverziója annak eredménye, hogy az inverziós műveletet alkalmazzuk az adott C görbére . Egy O középpontú és k sugarú rögzített körre nézve a Q pont inverziója az OQ sugáron fekvő P pont , és OP • OQ = k 2 . A C görbe inverziója az összes P pont halmaza, amely a C görbéhez tartozó Q pontok inverziója . Ebben a konstrukcióban az O pontot inverziós középpontnak , a kört inverziós körnek , k pedig az inverziós sugárnak nevezzük .

Ha kétszer alkalmazzuk az inverziót, akkor az azonos transzformációt kapja , tehát a görbe ugyanazon körhöz viszonyított megfordítására alkalmazott inverzió az eredeti görbét adja. Magának a körnek a pontjai önmagukká alakulnak, így az inverziós kör nem változik a művelet során.

Egyenletek

Egy pont ( x , y ) inverze az egységkörhöz képest ( X , Y ), ahol:

X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}

vagy ezzel egyenértékűen:

x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}

Tehát az f ( x , y ) = 0 egyenlettel definiált görbe egységkörhöz viszonyított megfordítását az egyenlet adja meg:

f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\ jobb)=0

Ebből az egyenletből következik, hogy egy n fokú algebrai görbe körhöz viszonyított megfordítása legfeljebb 2 n fokú algebrai görbét ad .

Ugyanígy, a parametrikus egyenletek által adott görbe megfordításával:

x = x(t),\y = y(t)

az egységkörhöz képest a következő lesz:

X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x( t)^2 + y(t)^2}.

Ebből következik, hogy egy racionális görbe körkörös inverziója is racionális görbe.

Általánosabban, az f ( x , y ) = 0 egyenlet által adott görbe megfordítása egy ( a , b ) középpontú és k sugarú körhöz képest

f\left(a+\frac{k^2(Xa)}{(Xa)^2+(Yb)^2},\ b+\frac{k^2(Yb)}{(Xa)^2+(Yb )^2}\jobbra)=0.

Paraméteresen meghatározott görbe invertálásával:

x = x(t),\y = y(t)

ugyanarra a körre vonatkozóan a következő lesz:

X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b )^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+( y(t)-b)^{2}}}

Poláris koordináta-rendszerben az egyenletek egyszerűbbek, ha az inverziós kör az egységkör. Egy pont ( r , θ) inverze az egységkörhöz képest ( R , Θ), ahol

R={\frac {1}{r)),\ \Theta =\theta

vagy ezzel egyenértékűen:

r={\frac {1}{R)),\ \theta =\Theta

Így az f ( r , θ ) = 0 görbe inverzióját az f (1/ R , Θ) = 0 egyenlet adja , és az r = g (θ) görbe inverziója r = 1/ g ( θ ).

Példák

A fenti transzformáció alkalmazása Bernoulli lemniszkátusára

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

adni fog

a^{2}(u^{2}-v^{2})=1

a hiperbola egyenlete. Mivel az inverzió egy biracionális transzformáció, a hiperbola pedig egy racionális görbe, ez azt mutatja, hogy a lemniszkát egyben racionális görbe is, vagyis a görbe nulla. Ha inverziót alkalmazunk az x n + y n = 1 Fermat-görbére , ahol n páratlan, azt kapjuk

(u^{2}+v^{2})^{n}=u^{n}+v^{n}.

A Fermat-görbe bármely racionális pontjának van egy megfelelő racionális pontja a görbén, ami ekvivalens kijelentést ad Fermat utolsó tételére .

Különleges esetek

Az egyszerűség kedvéért a példákban az egységkört inverziós körként használjuk. Az inverzió eredményét más körökre az eredeti görbe transzformációjával kaphatjuk meg.

Közvetlen

Ha az egyenes áthalad az origón, akkor poláris koordinátáiban az egyenlete θ = θ 0 lesz , ahol θ 0 állandó. Az egyenlet nem változik megfordításkor.

Az origón át nem haladó egyenes poláris koordinátáiban megadott egyenlet,

r\cos(\theta-\theta_0) = a

és a görbe inverziós egyenlete az lesz

r = a\cos(\theta-\theta_0)

amely az origón áthaladó kört határoz meg. Ha már erre a körre alkalmazzuk az inverziót, az látható, hogy az origón áthaladó kör inverziója egyenes lesz.

Körök

Poláris koordinátákban az origón át nem haladó kör általános egyenlete a

r^2 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0\quad(a,\r >0,\a \ne r_0),

ahol a a sugár és ( r 0 , θ 0 ) a középpont poláris koordinátái. Az inverz görbe egyenlete a

1 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + (r_0^2 - a^2)r^2 = 0,

vagy

r^2 - \frac{2r_0}{r_0^2 - a^2} r\cos(\theta-\theta_0) + \frac{1}{r_0^2 - a^2} = 0.

Ez egy sugarú kör egyenlete

A = \frac{a}{|r_0^2 - a^2|}

és a középpont, amelynek koordinátái

(R_0,\ \Theta_0) = \left(\frac{r_0}{r_0^2 - a^2},\ \theta_0\right).

Vegye figyelembe, hogy R 0 lehet negatív is.

Ha az eredeti kör metszi az egységkört, akkor e két kör középpontja és a metszéspont egy 1, a, r0 oldalú háromszöget alkot, és ez a háromszög derékszögű lesz, ha

r_{0}^{2}=a^{2}+1.

De a fenti egyenletből az következik, hogy az eredeti kör csak abban az esetben esik egybe a megfordításával, ha

r_{0}^{2}-a^{2}=1.

Így a kör megfordítása akkor és csak akkor esik egybe az eredeti körrel, ha a kör az egységkört derékszögben metszi.

Összefoglalva és általánosítva a két részt:

Egy vonal vagy kör megfordítása egyenes vagy kör lesz.
Ha az eredeti görbe egyenes, akkor az inverziója átmegy az inverziós középponton. Ha az eredeti görbe áthalad az inverzió középpontján, akkor az inverzió egy egyenes lesz.
A fordított görbe pontosan egybeesik az eredetivel, amikor a görbe derékszögben metszi az egységkört.

Parabolák inverziós középponttal a csúcsban

A parabola egyenlete, ha úgy forgatjuk el, hogy a tengelye vízszintes legyen, x = y 2 . Poláris koordinátákban ez lesz

r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.

Az inverz görbe egyenlete ekkor a következő lenne

r=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta \tan\theta

ez pedig Dioklész ciszoidja .

Kúpszelvények az inverzió középpontjával a fókuszban

Az origóban fókuszált kúpszelet poláris koordinátáiban megadott egyenlet a hasonlóságig

r={\frac {1}{1+e\cos \theta }}

ahol e az excentricitás. Ennek a görbének az inverze a következő lenne:

r=1+e\cos \theta

és ez a Pascal-féle csigaegyenlet . Ha e = 0, ez az inverziós kör. Ha 0 < e < 1, akkor az eredeti görbe egy ellipszis, inverze pedig egy zárt görbe, amelynek origójában izolált pont található. Ha e = 1, akkor az eredeti görbe parabola, inverze pedig az origónál szögletes kardioid . Ha e > 1, akkor az eredeti görbe egy hiperbola, és inverziója két hurkot képez az metszésponttal az origóban.

Ellipszisek és hiperbolák inverziós középpontjával a csúcsokban

Az ellipszis vagy hiperbola általános egyenlete:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Az egyenlet átalakítása úgy, hogy az origó legyen a csúcs:

\frac{(xa)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1

és átalakítás után:

\frac{x^2}{2a}\pm\frac{ay^2}{2b^2}=x

vagy az állandók megváltoztatásával:

cx^{2}+dy^{2}=x

Figyeljük meg, hogy a fent tárgyalt parabola most ebbe a sémába esik, ha c = 0 és d = 1. Az inverz görbe egyenlete:

\frac{cx^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{dy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x}{x^ 2+y^2}

vagy

x(x^{2}+y^{2})=cx^{2}+dy^{2}

Ez az egyenlet egy görbecsaládot ír le, amelyet Sluze konchoidoknak neveznek . Ebbe a családba tartozik a fentebb leírt Dioklész-ciszoidon kívül a Maclaurin-triszektor ( d = -c /3) és a jobb oldali strophoid ( d = -c ).

Ellipszisek és hiperbolák inverziós középponttal a közepén

Ellipszis vagy hiperbola egyenlet:

cx^{2}+dy^{2}=1

az invert művelet után:

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2))

és ez Booth lemniszkátusa . Ha d = − c , ez a Bernoulli-féle lemniszkátus .

Kúpszeletek tetszőleges inverziós ponttal

A kúpszelet megfordítása (a körtől eltérő) harmadrendű körgörbe, ha az inverzió középpontja a görbén fekszik, és egyébként egy negyedrendű kétkörös görbe. A kúpszelvények racionálisak, így a fordított görbék is racionálisak. Ezzel szemben bármely racionális harmadrendű körgörbe vagy racionális negyedrendű kétkörös görbe egy kúpszelet inverziója. Valójában ezen görbék bármelyikének szingularitása kell, hogy legyen, és ha ezt a pontot vesszük az inverzió középpontjának, akkor az inverz görbe kúpszelet lesz. [1] [2]

Analagmatikus görbék

Az analagmatikus görbe olyan görbe, amely megfordításkor önmagába fordul. Ezek közé tartozik a kör , a Cassini ovális és a Maclaurin-triszektor .

Lásd még

Inverz geometria
Inverzió (geometria)

Jegyzetek

↑ "Cubique Circulaire Rationnelle" az Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquablesnál . Letöltve: 2014. november 9. Az eredetiből archiválva : 2021. június 12. (határozatlan)
↑ „Quartique Bicirculaire Rationnelle” az Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables-nál . Letöltve: 2014. november 9. Az eredetiből archiválva : 2021. június 12. (határozatlan)

Linkek

JW Stubbs. Egy új módszer alkalmazásáról a görbék és görbefelületek geometriájára // Filozófiai Magazin Series 3. - 1843. - 23. évf . – S. 338–347 .
J. Dennis Lawrence. Speciális síkgörbék katalógusa . - Dover Publications, 1972. - P. 43-46,121 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Inverse Curve (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
"Inversion" a Visual Dictionary Of Special Plane Curves weboldalon
"Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" az Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables-nál
Definíció a MacTutor "Famous Curves" webhelyén . Ez a webhely példákat is tartalmaz inverz görbékre és egy Java kisalkalmazást az inverz görbék listájának megtekintéséhez.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg