Inverzió (geometria)

Az inverzió (a latin inversio „visszafordítás”) egy kör tekintetében az euklideszi sík átalakítása, amely az általánosított köröket (köröket vagy egyenes vonalakat) általánosított körökké alakítja át, ahol az egyik kör pontszerűen önmagába fordítódik.

Definíció

Adjunk meg egy olyan kört az euklideszi síkban , amelynek középpontja (az úgynevezett inverziós pólus , vagy inverziós középpont , ez a pont ki van lyukadva) és egy sugár . Egy pont inverziója a sugáron olyan pont , amely a sugáron fekszik $\Gamma$ $O$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Az inverzió a kör belső tartományát külsővé alakítja, és fordítva.

Gyakran hozzáadnak egy „pontot a végtelenben” a síkhoz , és fordítva tekintik , és fordítottan . Ebben az esetben az inverzió ennek a kiterjesztett " körsíknak" a bijektív transzformációja . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

Az euklideszi tér gömbhöz viszonyított inverziója és a magasabb dimenziójú euklideszi terek megfordítása hasonlóan definiálható.

Tulajdonságok

Az O - középpontú kör inverziója a következő alapvető tulajdonságokkal rendelkezik: $\Gamma$

Az inverzió involúció : ha a P pont a Q pontba megy , akkor a Q pont a P pontba megy.
Az O -n átmenő egyenes önmagába megy.
Az O -n át nem haladó egyenes egy olyan O - n átmenő körbe megy, amelynek O pontja kilyukad ; és fordítva, az O-n áthaladó kör egy O -n át nem haladó egyenesbe megy .
Az O -n át nem haladó kör olyan körbe kerül, amelyik nem megy át O -n (és a középpontjának képe nem a kép közepe).
Az inverzió a második típusú konform leképezés (azaz megőrzi a görbék közötti szögeket, és megfordítja az orientációt ).

Az Apollonius-körhöz viszonyított inverzió , amelyet definiál , felcseréli a pontokat és a pontokat . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $A$ $B$
Egy kör vagy egy -ra merőleges vonal önmagába megy . $\Gamma$

Megjegyzés

A körök és az inverzió elméletében két, derékszögben metsző kört merőlegesnek ( merőlegesnek ) mondunk . A körök akkor tekinthetők merőlegesnek , ha egymással derékszöget zárnak be. Általában a görbék közötti szög a metszéspontjukba húzott érintőik szöge.
A körök és az inverzió elméletében egy egyenes akkor merőleges a körre , ha átmegy a kör középpontján. $\Gamma$

Épület

Egy adott O középpontú körről a következőképpen kaphatjuk meg egy P pont P ' képét inverzióban [1] :

Ha P és O távolsága nagyobb, mint a kör sugara, húzzunk egy érintőt a P -ből a körre, akkor az érintkezési pontból az OP egyenesre merőleges metszi ezt az egyenest a kívánt P' pontban .
Ha a P és O távolság kisebb, mint a kör sugara, rajzoljon P -n keresztül egy merőlegeset az OP -ra , és a körrel való metszéspontján keresztül - egy érintőt, amely metszi az OP -t a kívánt P' pontban. .
Ha P és O távolsága egyenlő a kör sugarával, akkor P képe egybeesik önmagával.

Koordináta ábrázolások

Derékszögű koordináták

Az origó középpontjában álló egységkör inverzióját a következőképpen adja meg

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\jobbra)

Ha a sík egy pontját egy komplex koordináta adja meg , akkor ez a kifejezés a következőképpen ábrázolható $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

ahol a komplex konjugált száma . Egy komplex változónak ez a függvénye antiholomorf , ami különösen azt jelenti, hogy az inverzió konform. ${\barz}$ $z$

Általános esetben egy pontban középpontú és sugarú körhöz viszonyított inverziót az összefüggés adja meg. $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\jobbra)

Poláris koordináták

Az origó középpontjában álló sugarú kör inverzióját az adja meg $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Alkalmazások

Az inverzió alkalmazása megoldja
- Apollóniosz feladata ,
- Ptolemaiosz kiléte .

A Lipkin-Posselier mechanizmus az inverzió tulajdonságain alapul .

Az inverziót felhasználva bizonyítást nyert a Mohr-Mascheroni tétel , amely kimondja, hogy minden iránytűvel és egyenessel megvalósítható konstrukció elvégezhető egyetlen iránytűvel (egy egyenes akkor tekinthető megépítettnek, ha két pontja ismert) [ 2] [3]

Az Apollonius-kör tulajdonságaira az inverziós tulajdonságon alapuló bizonyíték van. [négy]

Az inverzió segítségével Steiner porizmusát igazoljuk : a bizonyítás azt a tényt használja fel, hogy minden nem metsző körre van olyan inverzió, amely koncentrikus körökké alakítja.

Az inverzió segítségével bebizonyosodott, hogy két arkhimédeszi ikerkör az arbeloszban egyenlő . [2]

Az inverzió segítségével igazolják a körök tulajdonságait az alexandriai Pappus porizmusában . [2]

Az inverzió segítségével a Pillangó-tétel bizonyításra kerül . [2]

Változatok és általánosítások

Inverzió egy kúpszelethez képest

Lehetőség van egy tetszőleges nem degenerált kúpszelet inverziójának meghatározására , azzal a különbséggel, hogy a mennyiség a megfelelő görbe középpontjától mért (változó) távolság lesz ( ellipszis és hiperbola esetén ). az adott görbe metszéspontjaihoz egy vonallal . $R$ $O$ $OP$

Hiperbolához viszonyított inverzió esetén attól függően, hogy melyik szektorban található az aszimptoták közötti pont , lehetséges az az eset, amikor az egyenes nem metszi a hiperbolát. Ezután a számításhoz ennek az egyenesnek a konjugált hiperbolával való metszéspontját veszik (kivéve, ha a pont az aszimptotán van), és a megfelelő értéket mínusz előjellel veszik, vagyis a sugár az irányba irányul. szemben a sugárral . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

A parabola körüli inverzió egyszerűen szimmetrikus visszaverődés a parabola tengelyével párhuzamos egyenes mentén.

Egy másik definíció az inverzió a kúpszelethez képest, mint a poláris pont által metszett húr felezőpontja a -hoz képest . Abban az esetben azonban, ha a megfelelő polár nem metszi egymást , a definíció teljessége érdekében ezt a részdefiníciót az ellenkező irányban kell alkalmazni (vagyis ez egy olyan pont, amely a húr által kivágott húr közepe. polar on ), ami nem mindig kényelmes. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Lásd még

Inverz geometria
Görbe inverzió

Jegyzetek

↑ Pogorelov A.V. Geometria . - M . : Nauka , 1983. - S. 41-42 . — 288 p.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 „Geometriák” , A. Yu. Davidov .

Linkek

Anufrienko S. A. Szimmetria egy körhöz képest .
Bakelman I. Ya. Inverzió . Népszerű matematikai előadások , 4. évf. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inverzió .. - M . : MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. Mi a matematika? . - M . : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, 4. § .. - ISBN 5-900916-45-6.