Téglalap alakú koordinátarendszer

Téglalap koordinátarendszer - egyenes vonalú koordinátarendszer egymásra merőleges tengelyekkel egy síkon vagy térben. A legegyszerűbb és ezért leggyakrabban használt koordinátarendszer. Nagyon könnyen és közvetlenül általánosítható bármilyen méretű terekre, ami szintén hozzájárul a széleskörű alkalmazásához.

Kapcsolódó kifejezések: A derékszögű koordinátarendszert általában téglalap alakú koordinátarendszernek nevezik, amelynek tengelyei mentén azonos léptékek vannak ( René Descartes nevéhez fűződik ), az általános derékszögű koordinátarendszert pedig affin koordinátarendszernek (nem feltétlenül téglalapnak) nevezik .

Történelem

Rene Descartes volt az első, aki 1637 - ben téglalap alakú koordinátarendszert vezetett be Geometriájában . Ezért a derékszögű koordinátarendszert - derékszögű koordinátarendszernek is nevezik . A geometriai objektumok leírásának koordinátamódszere lefektette az analitikus geometria alapjait. Pierre Fermat is hozzájárult a koordináta-módszer kidolgozásához , de munkája először halála után jelent meg [1] . Descartes és Fermat csak a síkon alkalmazta a koordináta módszert. Nicholas Oresme francia lelkész már jóval Descartes és Fermat kora előtt használt derékszögű koordinátákhoz hasonló konstrukciókat [2] .

Isaac Newton és Leibniz [3] számításának kidolgozásában nagy szerepet játszana a derékszögű koordinátarendszer fejlesztése . A sík kétkoordinátás leírását később a vektorterek fogalmába általánosították [4] .

A háromdimenziós tér koordináta-módszerét először Leonhard Euler alkalmazta már a 18. században. Úgy tűnik, az ortok használata Hamiltonra és Maxwellre nyúlik vissza .

Téglalap koordinátarendszer a síkon

Egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszert két egymásra merőleges koordinátatengely és . A koordinátatengelyek az origónak nevezett pontban metszik egymást , és minden tengelynek van pozitív iránya. $X'X$ $Y'Y$ $O$

Egy pont helyzetét a síkon két koordináta és . A koordináta megegyezik a szakasz hosszával , a koordináta a szakasz hossza a kiválasztott egységekben. A és szakaszokat a tengelyekkel párhuzamos pontból húzott egyenesek határozzák meg, ill . $A$ $x$ $y$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $A$ $Y'Y$ $X'X$

Ebben az esetben mínusz jelet rendelünk a koordinátához , ha a pont a sugáron fekszik (és nem a sugáron , mint az ábrán). A koordinátához mínusz jelet rendelünk, ha a pont a sugáron fekszik . Így és a koordinátatengelyek negatív irányai (minden koordinátatengelyt valós tengelyként kezelünk ). $x$ $B$ $ÖKÖR'$ $ÖKÖR$ $y$ $C$ $OY'$ $ÖKÖR'$ $OY'$

A tengelyt abszcissza tengelynek ( lat. abscissus - lit. " levágva , elválasztva " [5] ), a tengelyt ordináta tengelynek ( lat. ordinatus - lit. " rendezett, meghatározott sorrendbe állítva " [ 5]) nevezzük. 5] ). A koordinátát a pont abszcisszájának , a koordinátát a pont ordinátájának nevezzük . $X'X$ $Y'Y$ $x$ $A$ $y$ $A$

Szimbolikusan így van írva:

A(x,\;y)

vagy

A = (x,\;y)

vagy az index segítségével jelezze a koordináták egy adott ponthoz való tartozását:

x_A, x_B

stb.

A jobb oldali koordinátarendszerben a tengelyek pozitív irányát úgy választjuk meg, hogy ha a tengely felfelé van irányítva, a tengely jobbra nézzen. Általában jobbkezes koordinátarendszereket szokás használni (hacsak másként nincs megadva vagy nyilvánvaló - például rajzból; néha valamilyen oknál fogva mégis kényelmesebb a balkezes koordinátarendszer használata). $Y'Y$ $X'X$
A koordinátatengelyek által alkotott négy szöget (I, II, III, IV) koordinátaszögeknek , negyedeknek ill. $X'X$ $Y'Y$
<sík> kvadránsok (lásd 1. ábra).
- A koordinátaszögön belüli pontok pozitív abszcisszákkal és ordinátákkal rendelkeznek.
- A II koordinátaszögön belüli pontok negatív abszcisszákkal és pozitív ordinátákkal rendelkeznek.
- A III koordinátaszögön belüli pontok negatív abszcisszákkal és ordinátákkal rendelkeznek
- A IV koordinátaszögön belüli pontok pozitív abszcisszákkal és negatív ordinátákkal rendelkeznek.

Téglalap alakú koordinátarendszer a térben

A térben egy téglalap alakú koordinátarendszert (ebben a bekezdésben a háromdimenziós teret értjük; több többdimenziós terek esetén lásd alább) három egymásra merőleges koordinátatengely és . A koordinátatengelyek a koordináták origójának nevezett pontban metszik egymást , minden tengelyen kiválasztásra kerül a nyilakkal jelzett pozitív irány, és a tengelyeken lévő szakaszok mértékegysége. Az egységek általában (nem feltétlenül [6] ) minden tengelyre azonosak. - abszcissza tengely, - ordináta tengely, - applikációs tengely. $ÖKÖR$ $OY$ $oz$ $O$ $ÖKÖR$ $OY$ $oz$

Egy pont helyzetét a térben három koordináta és . A koordináta egyenlő a szakasz hosszával , a koordináta egyenlő a szakasz hosszával , a koordináta a szakasz hossza a kiválasztott mértékegységekben. Szegmensek , és a síkokkal párhuzamos pontból húzott síkok határozzák meg , ill . $A$ $x$ $y$ $z$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

A koordinátát a pont abszcisszájának nevezzük ,

x

A

koordináta - ordináta pont ,

y

A

koordináta - alkalmaz ( lat. applicata - szomszédos) [7] pont .

z

A

Szimbolikusan így van írva:

A(x,\;y,\;z)

vagy

A = (x,\;y,\;z)

vagy egy koordináta rekordot köt egy adott ponthoz index segítségével:

x_A,\;y_A,\;z_A

stb.

Minden tengelyt számegyenesnek tekintünk , vagyis pozitív iránya van, és negatív koordinátaértékek vannak hozzárendelve a negatív sugáron fekvő pontokhoz (a távolságot mínusz előjellel veszik). Azaz, ha például a pont nem úgy feküdne, mint az ábrán - a gerendán , hanem a ponttal ellentétes irányú folytatásán (a tengely negatív részén ), akkor a pont abszcisszája negatív (mínusz a távolság ). Hasonlóan a másik két tengelyhez. $B$ $ÖKÖR$ $O$ $ÖKÖR$ $x$ $A$ $OB$

A háromdimenziós térben minden téglalap alakú koordinátarendszer két osztályra oszlik - jobbra (a pozitív , standard kifejezéseket is használják ) és balra . Általában alapértelmezés szerint jobbkezes koordinátarendszereket próbálnak használni, és grafikus megjelenítésükkor lehetőség szerint több szokásos (hagyományos) pozíció valamelyikébe is kerülnek. (A 2. ábra a jobb oldali koordinátarendszert mutatja). A jobb és bal koordinátarendszer nem kombinálható elforgatással [8] úgy, hogy a megfelelő tengelyek (és azok irányai) egybeesjenek. Meghatározhatja, hogy egy adott koordinátarendszer melyik osztályba tartozik a jobbkéz szabály, a csavarszabály stb. segítségével (a tengelyek pozitív iránya úgy van megválasztva, hogy amikor a tengelyt 90°-kal az óramutató járásával ellentétes irányban elforgatjuk, a pozitív iránya egybeesik a tengely pozitív iránya , ha ezt a forgást a tengely pozitív irányának oldaláról figyeljük meg ). $ÖKÖR$ $OY$ $oz$

Oktánsnak nevezzük a nyolc terület bármelyikét, amelyre a teret három egymásra merőleges koordinátasík osztja fel .

Téglalap alakú koordinátarendszer többdimenziós térben

A derékszögű koordinátarendszer tetszőleges véges dimenziójú térben is használható, ugyanúgy, mint egy háromdimenziós térben. A koordinátatengelyek száma ebben az esetben megegyezik a tér méretével (ebben a részben jelöljük ). $n$

A koordinátákat általában nem különböző betűkkel jelölik [9] , hanem ugyanazzal a betűvel, számindexszel. Leggyakrabban ez:

x_1, x_2, x_3,\pontok x_n.

Egy tetszőleges koordináta kijelöléséhez ebből a halmazból egy betűindexet használunk: $én$

x_{i},

és gyakran a jelölést a teljes halmaz jelölésére is használják, ami arra utal, hogy az index végigfut a teljes értékkészleten: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \pont n$

A tér bármely dimenziójában a téglalap alakú koordinátarendszerek két osztályra oszthatók, jobbra és balra (vagy pozitív és negatív). Többdimenziós terek esetén az egyik koordinátarendszert tetszőlegesen (feltételesen) jobbnak nevezzük, a többit pedig jobbosnak vagy balosnak, attól függően, hogy azonos tájolásúak vagy sem [10] .

A kétdimenziós kvadráns és a háromdimenziós oktáns fogalmának általánosítása a -dimenziós euklideszi térhez ortáns vagy hiperoktáns. $n$

Téglalap alakú vektor koordináták

Egy vektor téglalap alakú koordinátáinak meghatározásához (bármilyen dimenziójú vektorok ábrázolására) abból indulhatunk ki, hogy egy vektor (irányított szakasz) koordinátái, amelynek kezdete az origóban van, egybeesnek a vektor koordinátáival. vége [11] .

Így például az 1. ábra koordinátái a vektor koordinátái . $(x,y)$ $\vec{OA}$

Azoknál a vektoroknál (irányított szegmenseknél), amelyek origója nem esik egybe az origóval, a derékszögű koordináták kétféle módon határozhatók meg:

A vektor úgy mozgatható , hogy origója egybeessen az origóval). Ezután a koordinátáit a bekezdés elején leírt módon határozzuk meg: annak a vektornak a koordinátái, amelyet úgy fordítunk le, hogy origója egybeessen az origóval, a végének koordinátái.
Ehelyett egyszerűen kivonhatja a vektor (irányított szakasz) végének koordinátáiból a kezdetének koordinátáit.

Téglalap alakú koordináták esetén a vektorkoordináta fogalma egybeesik egy vektornak a megfelelő koordinátatengely irányába merőleges vetületének fogalmával.

A téglalap alakú koordinátákban a vektorokkal végzett összes műveletet nagyon egyszerűen írják:

Összeadás és szorzás skalárral:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \pontok, a_n + b_n)

vagy

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

vagy

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

és ezért a kivonás és a skalárral való osztás:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

vagy

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

vagy

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Ez igaz bármely n méretre , és páros a téglalap koordinátákkal együtt a ferde koordinátákra).

Pontos termék :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

vagy

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Csak téglalap alakú koordinátákban, minden tengelyen egység léptékkel).

A skaláris szorzaton keresztül kiszámíthatja a vektor hosszát

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

és a vektorok közötti szög

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Külső munka :

(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

a tér bármely dimenziójához,

Vektorszorzat (csak ugyanahhoz a háromdimenziós térhez, amelyen meghatározva van):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Nyilvánvalóan mindez lehetővé teszi, hogy szükség esetén az összes vektorral végzett műveletet meglehetősen egyszerű számműveletekre redukáljuk.

Horts

Egy téglalap alakú koordinátarendszert [12] (bármilyen dimenzióban) a koordinátatengelyekkel egyirányú ort-ok (egységvektorok) halmaza is leír [ 13 ] . Az ortok száma megegyezik a koordinátarendszer méretével, és mind merőlegesek egymásra. Az ilyen ortok alapját képezik , ráadásul ortonormálisnak [14] .

Háromdimenziós esetben az ilyen vektorokat általában jelöljük

\mathbf{i}

, és

\mathbf {j}

\mathbf {k}

vagy

\mathbf{e}_x

, és .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Nyíl jelölés ( , és vagy , és ) vagy más, a vektorok egyik vagy másik szakirodalomban szokásos jelölési módjának megfelelő jelölés is használható. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Sőt, jobb oldali koordinátarendszer esetén a következő képletek érvényesek vektorok vektorszorzatával :

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

3-nál nagyobb méreteknél (vagy általános esetben, amikor a méret tetszőleges lehet) gyakori, hogy az egységvektorok helyett a numerikus indexű jelölést használják , gyakran [15]

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,

ahol n a tér mérete.

Egy tetszőleges dimenziójú vektort a bázis alapján bontunk fel (a koordináták bővítési együtthatóként szolgálnak):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \pontok + a_n\mathbf e_n

vagy

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

és ortonormális alapon a koordinátákat is nagyon könnyű megtalálni orts skaláris szorzatokkal:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analitikus geometria . Encyclopædia Britannica . Letöltve: 2017. augusztus 6. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 6.. (határozatlan)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Archiválva : 2021. november 24. a Wayback Machine -nél
↑ A kalkulus körútja, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Lineáris algebra jól megcsinálva – Springer. - 2015. - P. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Idegen szavak szótára. — M.: Rus. yaz., 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ Néha egyszerűen lehetetlen, ha különböző fizikai méretű értékeket ábrázolnak a tengelyek mentén; geometriai szempontból azonban ez a megjegyzés nem túl jelentős, hiszen akkor a tengelyek mentén lévő léptékeket feltételesen egyenlőnek tekinthetjük (például olyan léptéket, hogy az egységek geometriai síkon ábrázolva egybeessenek).
↑ Idegen szavak szótára. - M .: " Orosz nyelv ", 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ A jobb oldali koordinátarendszert balossá alakíthatja, és fordítva, tükrözéssel.
↑ De nem feltétlenül: a jelölés kérdését végső soron az adott alkalmazás határozza meg.
↑ Ez az alapján deríthető ki, hogy lehetséges-e néhány elforgatással (és átszámítással, ha a koordináták origója nem esik egybe) egy adott koordinátarendszert egy olyan koordinátarendszerrel kombinálni, amelynek tájolása definíció szerint jobbkezes. Ha igen, akkor ez a rendszer jobbnak, ha nem, akkor balnak minősül. Technikailag még egyszerűbb a transzformációs mátrix determinánsának előjelén keresztül kideríteni a megfelelő bázisról az adottra.
↑ Az irányított szakasz vége egy pont; pont derékszögű koordinátáit a fenti cikk tárgyalja.
↑ Ebben a bekezdésben a szokásos derékszögű koordinátarendszert fogjuk érteni, vagyis egy téglalap alakú koordinátarendszert, amelynek minden tengelye mentén azonos léptékű; A különböző tengelyek mentén eltérő léptékű koordinátarendszerek figyelembe vétele itt indokolatlan formai bonyodalmakat vezetne be meglehetősen kis tartalmi növekedés mellett.
↑ Ez a leírás nyilvánvalóan teljesen egyenértékű a koordinátatengelyek szokásos beállításával, csak meg kell adni a koordináták origóját (ez utóbbi gyakran alapértelmezés szerint nyilvánvaló).
↑ Ha megtagadja a koordinátatengelyek egyenlő léptékének feltételét - csak egy ortogonális bázist .
↑ Az e betű helyett azonban gyakran más betűket is használhatunk . Általában ezt kifejezetten kimondják.

Linkek

V. I. Gervids. Derékszögű koordinátarendszer-modell (villanás). NRNU MEPhI (2011.03.10.). Letöltve: 2011. május 3. (határozatlan)

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor