Külső algebra

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A külső algebra vagy a Grassmann-algebra egy asszociatív algebra , amelyet a geometriában használnak a többdimenziós terekben történő integráció elméletének megalkotására. Először Grassmann vezette be 1844-ben.

A tér feletti külső algebrát általában jelöli . A legfontosabb példa a differenciálformák algebra egy adott sokaságon. $V$ $\bigwedge V$

Definíció és kapcsolódó fogalmak

A mező feletti vektortér külső algebrája egy tenzoralgebra asszociatív hányados algebrája egy kétoldalú ideál által, amelyet a következő alak elemei generálnak : $\nagyék V$ $V$ $K$ $T(V)$ $én$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I

Ha a mező karakterisztikája , akkor az ideál pontosan megegyezik a forma elemei által generált ideállal . $\operatorname {char} (K)\neq 2$ $én$ $x\otimes y+y\otimes x$

Az ilyen algebrában a ∧ szorzást külső szorzatnak nevezzük . Szerkezetileg antikommutatív:

x\wedge y=-(y\wedge x).

A tér k - edik külső hatványát a forma elemei által generált vektortérnek nevezzük $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,

továbbá = { 0 } k > n esetén . $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Ha és { e 1 , …, e n } egy bázis , akkor a bázis a halmaz $\dim V=n$ $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ és }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Akkor

{\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

és könnyen belátható, hogy a külső algebrának természetesen van osztályozása : ha és , akkor $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).

Tulajdonságok

A tér elemeit r -vektoroknak nevezzük . Abban az esetben, ha a főmező karakterisztikája egyenlő 0-val, akkor az antiszimmetrikus (alternáló) tenzorszorzat, azaz két antiszimmetrikus külső szorzatának műveletével ferdeségszimmetrikusnak is felfogható az ellentétes tenzorok r - szerese . tenzorok a teljes antiszimmetrizáció (alternáció) összetétele az összes indexen a tenzorszorzattal . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $V,$
- Konkrétan két vektor külső szorzata a következő tenzorként értelmezhető: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Megjegyzés: Nincs egységes szabvány arra vonatkozóan, hogy mit jelent az „antiszimmetrizáció”. Sok szerző például a képletet részesíti előnyben $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Egy tetszőleges vektor külső négyzete nulla: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

A páros r -t tartalmazó r -vektorokra ez nem igaz. Például

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

A -vektorokból és -ből álló lineárisan független rendszerek akkor és csak akkor generálják ugyanazt az alteret , ha a és -vektorok arányosak. $r$ $x_{1},\pontok,x_{r}$ $y_{1},\pontok ,y_{r}$ $V$ $r$ $x_{1}\ék \pontok \ék x_{r}$ $y_{1}\ék \pontok \ék y_{r}$

Linkek

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, - M .: Fizmatlit, 2009.
Schutz B. A matematikai fizika geometriai módszerei. - M .: Mir, 1984.
Efimov NV Bevezetés a külső formák elméletébe. - M .: Nauka , 1977.

Külső algebra

Definíció és kapcsolódó fogalmak

Tulajdonságok

Linkek

Lásd még