Osztályozott algebra

A fokozatos algebra olyan algebra , amely altereinek közvetlen összegére van felbontva oly módon, hogy a feltétel teljesül . [1] [2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r))$ ${\displaystyle A_{r))$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definíció

Legyen A egy k gyűrű feletti algebra , G egy félcsoport .

Az A algebrát G - fokozatúnak nevezzük (szinonimája: G - A minősítés adott ), ha A a G -ből származó összes g elemre kiterjedő k modulok közvetlen összegére bomlik fel , és az algebrában történő szorzás összhangban van a félcsoport szorzásával: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg))

Ha egy nem nulla a elemhez tartozik , akkor azt g fokú homogénnek nevezzük . $A_{g}$

Ha G-t egész számok additív csoportjaként vagy nem negatív egészek félcsoportjaként vesszük, az A algebrát egyszerűen osztályozottnak mondjuk.

Ha a gyűrűt A -nak vesszük a fenti definícióban , akkor megkapjuk a fokozatos gyűrű definícióját .

Konstrukciók érettségivel

Ha A egy G -osztályú algebra és a egy félcsoport - homomorfizmus , akkor A -t H -osztályzattal látja el a következő szabály: $\psi :G\to H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

Bármely A algebrára bevezethet egy triviális osztályozást bármely e azonosságú G félcsoportra , feltételezve , hogy ezért nincs értelme ilyen "rossz" osztályzatokat figyelembe venni. $A_{e}=A$

Egy mező felett bármely A algebra fokozatos az algebrai automorfizmus csoport maximális tóruszának G karaktercsoportjával : $\mathbb {C}$ $G=(T(\operátornév {Aut} _{k{\text{-alg))}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\ mid \phi (a)=g(\phi )a$ mindenkinek $\phi \in T(\operátornév {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Ez a besorolás a fenti értelemben a „leggazdagabb” az A algebra összes Abeli -féle besorolása közül , mivel bármely G -osztályú A algebrán a G karaktercsoport automorfizmusokkal, ugyanazzal a képlettel működik.

Példák

Polinomok gyűrűje egy vagy több változóban.
A kohomológia gyűrűje .
Az n rendű mátrixok algebráját a csoport osztályozza $\mathbb {Z} _{n-1}.$
A félcsoportos algebra egy G -osztályú algebra. $K\left[G\right]$

Osztályozott modul

A megfelelő fogalom a modulelméletben egy fokozatos modul , nevezetesen egy bal oldali M modul egy A fokozatos gyűrű fölött úgy, hogy

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

és

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

A fokozatos modulmorfizmus egy olyan modulmorfizmus, amely megőrzi az osztályozást, azaz . $f:N\to M$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

Egy osztályozott M modulnál a ℓ -twist a szabály által meghatározott osztályozott modulként definiálható . (Lásd a Serre-kéve csavarását az algebrai geometriában.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Legyen M és N osztályozott modulok. Ha a modulok morfizmusa, akkor f -nek d foka van , ha . A differenciálgeometria differenciálformájának külső deriváltja az 1. fokú morfizmus példája. $f:M\to N$ ${\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d))$

Irodalom

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Osztályozott gyűrű elmélet. - Amszterdam: Észak-Hollandia, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Jegyzetek

↑ Ezt a fokozatos algebrát -gradáltnak is nevezik . ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov; Szerk. koll.: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudrjavcev, A. L. Onischik, A. P. Juskevics. - M . : Szov. enciklopédia, 1988. - S. 161 . — 847 p. — 150.000 példány.