Homológia elmélet

A homológiaelmélet ( más görög ὁμός "egyenlő, azonos; közös; kölcsönös" és λόγος "doktrína, tudomány ") a matematikának egy olyan ága , amely a homológiacsoportoknak és kohomológiai csoportoknak nevezett topológiai invariánsok felépítését vizsgálja . A homológiaelméleteket homológiacsoportok konkrét konstrukcióinak is nevezik.

A legegyszerűbb esetben egy topológiai teret természetes számokkal felsorolt Abeli - homológiacsoportok sorozatához társítunk . Ezek homotópia-invariánsok , és a homotópia-csoportokkal ellentétben könnyebben kiszámíthatók és geometriailag áttekinthetőbbek, de egyszerűen összefüggő terek esetében ugyanannyi információt hordoznak [1] . $x$ $H_{k}(X)$ $k$

A homológia definíciója azonban kevésbé egyértelmű, és bizonyos technikai gépezetet használ [2] , ezért a homológiának számos különböző elmélete létezik – mindkettő csak „jó” topológiai terekre van definiálva, vagy további struktúrát igényel , és összetettebbek, amelyeket úgy terveztek, hogy patológiás példák. Az ilyen kóros esetek kivételével azonban általában egybeesnek: sejtterekre ezt a Steenrod-Eilenberg axiómák biztosítják .

A homológiaelmélet egyéb gyakori fogalmai az Abel-csoport együtthatóival való homológia , egy térpár relatív homológiája és a kohomológia , amelyek definíciói bizonyos értelemben kettősek a homológiáéval. Gyakran a kohomológiákat veszik figyelembe a rajtuk lévő szorzás miatt , amely fokozatos algebrává változtatja őket . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\supset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$

A kohomológiákat más matematikai objektumokhoz kapcsolódó invariánsoknak is nevezik - csoportok , Lie-algebrák , tekercsek . Formális hasonlóság egyesíti őket – például a lánckomplexum homológia fogalmának jelenléte a definíciójukban – és bizonyos esetekben olyan konstrukciók jelenléte, amelyek az ilyen objektumokat megfelelő homológiájú topológiai terekhez társítják.

Általános meghatározás

Emlékezzünk vissza, hogy egy tér -edik homotópiacsoportja a -dimenziós gömbtől a -ig terjedő leképezések halmaza, folyamatos deformációig tekintve . A homológia meghatározásához a gömbök leképezéseit -ciklusokkal helyettesítjük, amelyeket intuitív módon zárt (vagyis határok nélküli) orientált dimenziófilmekként ábrázolunk , de különböző definíciókban eltérően formalizálódnak. A folytonos deformálhatóság feltételét felváltja az a feltétel, hogy a ciklusok különbsége (egyesülésük, amelyben a másodikat ellentétes orientációval vesszük fel) még egy dimenziójú orientált ciklushatár. $k$ $\pi _{k}(X)$ $x$ $k$ $x$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $x$

A szabványos jelöléssel a -cycle csoport ( német Zyklus - „ciklus”), a -boundary csoport ( angol boundary - „border”), a „homológiák ciklusok a határokig” kifejezés pedig így van írva. $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

Ennek az elképzelésnek a formalizálásához szigorúan meg kell határozni a ciklusokat és azok határait, ami bizonyos nehézségekhez vezet a dimenzióciklusok esetében [1] . A megoldás az, hogy a választott konstrukciótól függően meghatározzuk a -lánc csoport köztes fogalmát, amely a leképezések formális lineáris kombinációiból áll néhány szabványos elemre. A szabványos elemhatár eggyel kisebb méretû szabványos elemek lineáris kombinációjaként definiálható, megfelelõ tájolással, amely határleképezést indukál . Ekkor a -ciklusokat nulla határvonalú -láncként definiáljuk (hogy a határ nullával való egyenlősége értelmes legyen, nemcsak pozitív, hanem tetszőleges szabványos elemek lineáris kombinációit is figyelembe kell venni, és meg kell adni a határtérképet jellel). Így a ciklusok képezik a magot , a szegélyek pedig a szegélykijelzés képe: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $x$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X )=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))

Az a feltétel, hogy minden határ ciklus, a lánckomplex feltétel formáját ölti : , és a topológiai tér homológiája ennek a komplexnek a homológiája. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

A szabványos elemek és a szegélykijelzés kiválasztása elmélettől függően eltérő. A szinguláris homológia elméletében az ilyen elemek az egyszerűségek , és a határtérkép egy szimplexet a lapjainak váltakozó összegével társít. Az egyszerűsített homológia elméletében az egyszerűsített komplexekre definiált egyszerűségek is szerepelnek, de nem mindegyik, hanem benne van a választott egyszerű partícióban. A sejtkomplexre definiált sejthomológia elméletében ezek egy megfelelő vázból származó hipergömbök, és a határleképezés bonyolultabb.

Homológiai elméletek

Egyszerű homológia − A homológiát nagyon egyszerű terekre ( egyszerűsített komplexekre ) definiáljuk.

Meghatározásuk meglehetősen egyszerű, de változatlanságuk és funkcionálisságuk bizonyítása meglehetősen nehéz.

A szinguláris homológia egy másik, Lefschetz által javasolt homológiaelmélet . Meghatározásuk végtelen dimenziós terekkel való munkát igényel, de azonnal nyilvánvalóvá válik a változatlanság és a funkcionalitás.

A Cech-homológia az a homológiaelmélet, amely leginkább alkalmas a patológiás terekkel való munkára.

Homológia együtthatókkal tetszőleges csoportokban

Homológiákat úgy határozhatunk meg, hogy a láncok egyszerűsítési együtthatói bármely Abel-csoport elemei lehetnek . Vagyis a csoportok helyett vegye figyelembe a csoportokat . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

A csoportban együtthatós terek homológiacsoportjait (egyszerű, szinguláris stb.) jelöljük . Általában a valós számok csoportját , a racionális számokat vagy a ciklikus maradékcsoportot modulo - használjuk, és általában - prímszámot veszünk szám, akkor egy mező . $x$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Újabb leírás. Alkalmazás a komplexumra $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

functor , akkor egy komplexet kapunk $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots

amelynek homológiája az együtthatókkal való homológia . $G$

Kohomológia

A láncokon kívül bevezetheti a cochain fogalmát - a láncok vektorterének leképezését egy csoportba . Vagyis a kochainek tere . $G$ $C^{k}(X)=\operátornév {Hom} (C_{k}(X),G)$

A határ operátort a következő képlet határozza meg: (ahol ). Egy ilyen határoperátorhoz mi is rendelkezünk $\delta ^{k}:C^{k}\–C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, nevezetesen

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Ezért a fent elmondottakhoz hasonlóan bevezethetjük a kociklusok , a társhatárok és a kohomológia fogalmait . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operátornév {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\operátornév {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

A kohemológia fogalma kettős a homológia fogalmával.

Ha egy gyűrű , akkor a kohomológiai csoportban egy természetes szorzást határozunk meg (a Kolmogorov-Alexander szorzat vagy -szorzat), amely ezt a csoportot egy fokozatos gyűrűvé alakítja , amelyet kohomológiai gyűrűnek nevezünk . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\csésze$

Abban az esetben, ha egy differenciálható sokaság , a kohomológiai gyűrű kiszámítható differenciálformák segítségével (lásd De Rham tételét ). $x$ $H^{*}(X,\mathbb {R} )$ $x$

A kohomológia fogalmát Alexander és Kolmogorov vezette be .

Relatív homológia és pontos homológia szekvencia

Vegyük két topológiai tér esetét . Láncok csoportja (a láncok lehetnek egész együtthatókkal vagy bármely csoport együtthatójával ). A relatív láncokat a faktorcsoport elemeinek nevezzük . Mivel az altér homológiacsoportjának határoperátora lefordítja , így a hányadoscsoporton is meg lehet határozni a határoperátort (ugyanúgy fogjuk jelölni) . $Y\X részhalmaz$ $C_{k}(Y)\C_{k}(X) részhalmaz$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\kettőspont C_{k}(Y)\–C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\kettőspont C_{k}(X,Y)\–C_{k-1}(X,Y)$

Azokat a relatív láncokat, amelyeket a határoperátor lefordít, relatív huroknak nevezzük , az értékeit adó láncokat pedig relatív határok . Mivel az abszolút láncokon ugyanez igaz lesz a relatív láncokra is, innentől kezdve . A faktorcsoportot relatív homológia csoportnak nevezzük . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Mivel minden abszolút ciklus egyben relatív is, van homomorfizmusunk Funktoriális tulajdonság alapján a beágyazás homomorfizmushoz vezet . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\-X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\–H_{k}(X)$

Ezzel szemben létrehozhatunk egy homomorfizmust , amelyet a következőképpen definiálunk. Legyen egy relatív lánc, amely egy ciklust határoz meg -ból . Tekintsük abszolút láncnak (elemekig ). Mivel ez egy relatív ciklus, egy láncig egyenlő lesz nullával . Egyenlővé tesszük a lánc homológiaosztályát . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\–H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Ha veszünk egy másik abszolút láncot , amely ugyanazt a relatív ciklust határozza meg, akkor lesz , ahol . Megvan , de mivel ez a határ , és ugyanazt az elemet határozzuk meg a homológia csoportban . Ha veszünk egy másik relatív ciklust , amely ugyanazt az elemet adja a relatív homológia csoportban , ahol a relatív határ, akkor abból a tényből adódóan, hogy a relatív homológiák határa , ahol , tehát , de , és a határ -ben . $c'_{k}\in C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $c''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Ezért a homológia osztály egyedileg meghatározott. Az operátor linearitásából egyértelműen látszik, hogy homomorfizmusról van szó. Tehát vannak homomorfizmusaink: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\colon H_{k}(Y)\-H_{k}(X)

;

j_{*k}\kettőspont H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)

és

d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)

;

...\H_{k}(Y)\-be H_{k}(X)\H_{k}(X,Y)\H_{k-1}(Y)\-be...

Bebizonyítható, hogy ez a sorozat egzakt , azaz bármely homomorfizmus képe megegyezik a következő homomorfizmus magjával.

Steenrod-Eilenberg axiómák

Az általunk már ismert egyszerű és szinguláris homológián kívül vannak más homológia- és kohomológiai elméletek is, például sejthomológia , Alexandrov-Cech kohomológia , de Rham-kohomológia stb. Steenrod és Eilenberg axiómarendszert definiált az elmélethez. a (társ)homológia. Először is meghatározzák az ún. topológiai térpárok egy megengedett osztálya, amely megfelel a következő tulajdonságoknak: $D$

Ha akkor és . $(X,Y)\D-ben,$ $(X,X)\D-ben,$ $(X,\varnothing )\in D,$ $(Y,Y)\D-ben$ $(Y,\varnothing )\in D$
Ha , akkor és , hol a zárt intervallum [0,1]. ${\megjelenítési stílus (X,Y)\D-ben}$ ${\megjelenítési stílus (X\szer I,Y\szor I)\in D}$ $én$
$(*,\varnothing )\in D$ , ahol az egypontos szóköz. $*$

A Steenrod-Eilenberg homológiaelméletben minden megengedett pár és tetszőleges k egész szám egy Abel-csoportnak felel meg , a párok folyamatos leképezése pedig egy homomorfizmusnak (A teret a ) és a párral azonosítjuk , és a következő axiómák teljesülnek. : $H_{k}(X,Y)$ $f\kettőspont (X,Y)\(X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\-H_{k}(X',Y')$ $x$ $(X,\varnothing )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing )$

Egy pár identitásleképezése megfelel az azonossághomomorfizmusnak . $id$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funkcionális )
Egy határhomomorfizmust definiálunk , és ha , akkor a megfelelő homomorfizmusra igaz bármely dimenzióra . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)$ $f\kettőspont (X,Y)\(X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\-H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Legyen és legyen beágyazás, és legyen a megfelelő homomorfizmus, legyen határhomomorfizmus. Ekkor az általuk meghatározott sorrend pontos ( a pontosság axiómája ). $i\kettőspont Y\-től X-ig$ $j\kettőspont X\-től (X,Y)$ $i_{*k}\colon H_{k}(Y)\-H_{k}(X)$ $j_{*k}\kettőspont H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)$
$\lpont \-H_{k}(Y)\-H_{k}(X)\-H_{k}(X,Y)\-H_{k-1}(Y)\- \lpont$
Ha a leképezések homotopikusak , akkor a megfelelő homomorfizmusok bármely dimenzióra egyenlőek ( a homotópia invariancia axiómája ). $f,g\kettőspont (X,Y)\(X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Legyen nyitott részhalmaza a -nak , és annak lezárása a halmaz belsejében található , akkor ha a és párok egy megengedett osztályba tartoznak, akkor bármely dimenzióra a beágyazás megfelel egy izomorfizmusnak ( vágó axióma ). $U\X részhalmaz$ $x$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X,Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
Egypontos térhez minden mérethez . Egy Abel-csoportot együtthatók csoportjának ( a dimenzió axiómája ) nevezünk. $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

Szinguláris homológia esetén a párok megengedett osztálya az összes topológiai térpárból áll. A korábban definiált szinguláris homológia csoportok együtthatókkal a leképezési csoportjukban és a határhomomorfizmus mindezen axiómákat kielégítik. Ha a poliéderek osztályát vesszük megengedhető osztálynak, akkor bebizonyíthatjuk, hogy az ezzel az axiómarendszerrel meghatározott homológiák egybeesnek az egyszerűsítőkkel. $G$ $d_{*}$

Hasonlóképpen bevezethetünk egy axiómarendszert a kohomológiára, amely teljesen analóg.

Csak azt kell szem előtt tartani, hogy a leképezés megfelel ( kontravariancia ), és hogy a társhatár homomorfizmus növeli a dimenziót. $f\kettőspont (X,Y)\(X',Y')$ $f^{*k}\kettőspont H^{k}(X',Y')\-H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\-H^{k}(X,Y)$

Rendkívüli homológia

A Steenrod-Eilenberg axiómák rendszerében a dimenzióaxióma nem olyan fontos, mint a többi.

Rendkívülinek vagy általánosítottnak nevezzük azokat a (ko)homológia elméleteket, amelyekben a dimenziók egypontos terében nullától eltérő (ko)homológiai csoportok állnak rendelkezésre. A legfontosabb rendkívüli elméletek az Atiyah K-elmélete (meg kell jegyezni Hirzebruch , Bott és Adams fontos hozzájárulását ehhez az elmélethez ) és R. Thoma bordizmuselmélete . $k>0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 95.
↑ Hatcher, 2002 , p. 97.

Irodalom

Wick J. W. Homológiaelmélet. Bevezetés az algebrai topológiába. — M. : MTsNMO , 2005
Dold A. Előadások az algebrai topológiáról. — M. : Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: Methods of homology theory. - M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izevszk: RHD, 2001
Lefshetz S. Algebrai topológia. - M .: IL, 1949
Novikov P. S. Topológia. - 2. kiadás helyes és további - Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2002
Prasolov V. V. A homológiaelmélet elemei. — M. : MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebrai topológia. — homotópia és homológia. - M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebrai topológia. - M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Az algebrai topológia alapjai. - M. : Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB A homotópia topológia menete . - M .: Nauka, 1989. - 528 p. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Algebrai topológia. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.